Введение
В общей топологии, теории множеств и теории игр, игра Банаха — Мазура — это топологическая игра, в которой два игрока стремятся выделить элементы в множестве (пространстве). Понятие игры Банаха — Мазура тесно связано с понятием пространств Байра. Эта игра стала первой бесконечной позиционной игрой с полной информацией, подвергнутой исследованию. Станислав Мазур представил её как задачу № 43 в шотландском сборнике, а вопросы Мазура по поводу неё были разрешены Банахом.
Простой доказатель: выигрышные стратегии
Естественно спросить, для каких множеств существует выигрышная стратегия в И очевидно, что если пусто, то у первого игрока есть выигрышная стратегия, поэтому вопрос можно переформулировать следующим образом: насколько "малым" (соответственно, "большим") должно быть множество (соответственно, дополнение к нему в ) для того, чтобы у первого игрока была выигрышная стратегия. Следующий результат даёт представление о том, как работают доказательства, используемые для получения свойств в предыдущем разделе:
Proposition. has a winning strategy in if is countable, is T1, and has no isolated points. Proof. Index the elements of X as a sequence: Suppose has chosen if is the non empty interior of then is a non empty open set in so can choose Then chooses and, in a similar fashion, can choose that excludes Continuing in this way, each point will be excluded by the set so that the intersection of all will not intersect
The assumptions on are key to the proof: for instance, if is equipped with the discrete topology and consists of all non empty subsets of , then has no winning strategy if (as a matter of fact, her opponent has a winning strategy). Similar effects happen if is equipped with indiscrete topology and
A stronger result relates to first order sets. Proposition. has a winning strategy in if and only if is meagre. This does not imply that has a winning strategy if is not meagre. In fact, if is a complete metric space, then has a winning strategy if and only if there is some such that is a comeagre subset of It may be the case that neither player has a winning strategy: let be the unit interval and be the family of closed intervals in the unit interval. The game is determined if the target set has the property of Baire, i. e. if it differs from an open set by a meagre set (but the converse is not true). Assuming the axiom of choice, there are subsets of the unit interval for which the Banach–Mazur game is not determined.
Предложение. У первого игрока есть выигрышная стратегия в , если счетно, является пространством T1 и не имеет изолированных точек. Доказательство. Пронумеруем элементы X последовательностью: Предположим, что первый игрок выбрал . Если является непустым внутренним множеством, то является непустым открытым множеством в , следовательно, второй игрок может выбрать . Затем первый игрок выбирает , и аналогичным образом второй игрок может выбрать , исключающее . Продолжая таким образом, каждая точка будет исключена множеством , так что пересечение всех не будет пересекаться с .
Proposition. has a winning strategy in if is countable, is T1, and has no isolated points. Proof. Index the elements of X as a sequence: Suppose has chosen if is the non empty interior of then is a non empty open set in so can choose Then chooses and, in a similar fashion, can choose that excludes Continuing in this way, each point will be excluded by the set so that the intersection of all will not intersect
The assumptions on are key to the proof: for instance, if is equipped with the discrete topology and consists of all non empty subsets of , then has no winning strategy if (as a matter of fact, her opponent has a winning strategy). Similar effects happen if is equipped with indiscrete topology and
A stronger result relates to first order sets. Proposition. has a winning strategy in if and only if is meagre. This does not imply that has a winning strategy if is not meagre. In fact, if is a complete metric space, then has a winning strategy if and only if there is some such that is a comeagre subset of It may be the case that neither player has a winning strategy: let be the unit interval and be the family of closed intervals in the unit interval. The game is determined if the target set has the property of Baire, i. e. if it differs from an open set by a meagre set (but the converse is not true). Assuming the axiom of choice, there are subsets of the unit interval for which the Banach–Mazur game is not determined.
Ключевую роль в доказательстве играют предположения о : например, если наделено дискретной топологией, а состоит из всех непустых подмножеств , то у первого игрока нет выигрышной стратегии, если (фактически, у второго игрока есть выигрышная стратегия). Аналогичный эффект наблюдается, если наделено недискретной топологией, а более сильный результат относится к множествам первого порядка.
Proposition. has a winning strategy in if is countable, is T1, and has no isolated points. Proof. Index the elements of X as a sequence: Suppose has chosen if is the non empty interior of then is a non empty open set in so can choose Then chooses and, in a similar fashion, can choose that excludes Continuing in this way, each point will be excluded by the set so that the intersection of all will not intersect
The assumptions on are key to the proof: for instance, if is equipped with the discrete topology and consists of all non empty subsets of , then has no winning strategy if (as a matter of fact, her opponent has a winning strategy). Similar effects happen if is equipped with indiscrete topology and
A stronger result relates to first order sets. Proposition. has a winning strategy in if and only if is meagre. This does not imply that has a winning strategy if is not meagre. In fact, if is a complete metric space, then has a winning strategy if and only if there is some such that is a comeagre subset of It may be the case that neither player has a winning strategy: let be the unit interval and be the family of closed intervals in the unit interval. The game is determined if the target set has the property of Baire, i. e. if it differs from an open set by a meagre set (but the converse is not true). Assuming the axiom of choice, there are subsets of the unit interval for which the Banach–Mazur game is not determined.
Предложение. У первого игрока есть выигрышная стратегия в , если и только если скудное. Это не означает, что у первого игрока есть выигрышная стратегия, если не скудное. На самом деле, если является полным метрическим пространством, то у первого игрока есть выигрышная стратегия, если и только если существует такое , что является комеагре подмножеством . Может случиться так, что ни у одного игрока нет выигрышной стратегии: пусть является единичным интервалом, а — семейством замкнутых интервалов в единичном интервале. Игра определена, если целевое множество обладает свойством Бейра, то есть отличается от открытого множества скудным множеством (но обратное неверно). При условии аксиомы выбора существуют подмножества единичного интервала, для которых игра Банаха — Мазура не определена.
Proposition. has a winning strategy in if is countable, is T1, and has no isolated points. Proof. Index the elements of X as a sequence: Suppose has chosen if is the non empty interior of then is a non empty open set in so can choose Then chooses and, in a similar fashion, can choose that excludes Continuing in this way, each point will be excluded by the set so that the intersection of all will not intersect
The assumptions on are key to the proof: for instance, if is equipped with the discrete topology and consists of all non empty subsets of , then has no winning strategy if (as a matter of fact, her opponent has a winning strategy). Similar effects happen if is equipped with indiscrete topology and
A stronger result relates to first order sets. Proposition. has a winning strategy in if and only if is meagre. This does not imply that has a winning strategy if is not meagre. In fact, if is a complete metric space, then has a winning strategy if and only if there is some such that is a comeagre subset of It may be the case that neither player has a winning strategy: let be the unit interval and be the family of closed intervals in the unit interval. The game is determined if the target set has the property of Baire, i. e. if it differs from an open set by a meagre set (but the converse is not true). Assuming the axiom of choice, there are subsets of the unit interval for which the Banach–Mazur game is not determined.