Кіріспе

Математикалық құбылыстар, олардың қасиеттері интуицияға қарсы келеді.

Математикада, математикалық құбылыс болғанда интуицияға қарсы болса, онда бұл құбылыс кейде патологиялық деп аталады. Ал егер құбылыс интуицияға қарсы келмесе, оны кейде «жақсы мінез-құлықты» деп атайды. Бұл терминдер математикалық зерттеулер мен оқытуда кейде пайдалы, бірақ патологиялық немесе «жақсы мінез-құлықты» терминдерінің қатаң математикалық анықтамасы жоқ.

Топологияда

Топологиядағы бір танымал қарсы мысал – Александр мүйізді сферасы, ол S2 сферасын R3 кеңістігіне топологиялық енгізу кеңістікті толық бөле алмауын көрсетеді. Бұл математиктерді қолжетімділік қасиетін анықтауға ынталандырды, ол мүйізді сфера, жабайы түйін және басқа да ұқсас мысалдардағы осы қатал мінез-құлқыны басады. Көптеген басқа патологиялар сияқты, мүйізді сфера да шексіз нәзік, рекурсивті құрылған құрылыммен ойнайды, ол шекте қалыпты түсініктерге қайшы келеді. Бұл жағдайда, сфераның үздіксіз бөліктерінен құралған, бірін бірімен байланысқан шеңберлердің үнемі төмендейтін тізбегінің топологиясы, шекте жалпы сфераның топологиясын толыққанды бейнелейді, ал енгізілгеннен кейін оның сырты да солай жұмыс істеуі керек деп күтіледі. Бірақ ол солай емес: ол жай байланысты бола алмайды. Негізгі теория үшін Джордан-Шенфлиз теоремасына жүгініңіз. "Топологиядағы қарсы мысалдар" – мұндай қарсы мысалдардың толық кітабы.

Патологиялық мысалдар

Патологиялық мысалдардың кейбір жағымсыз немесе ерекше қасиеттері болады, олар теорияда қамту немесе түсіндіру қиын. Мұндай патологиялық мінез-құлық көбінесе жаңа зерттеулерге және ізденістерге түрткі болады, бұл жаңа теориялар мен жалпы нәтижелерге алып келеді. Осыған байланысты маңызды тарихи мысалдар: ежелгі Грекиядағы Пифагор мектебінің иррационал сандарды ашуы; мысалы, бірлік шаршының диагоналінің ұзындығы, яғни 16-шы ғасырда кубтық және төртінші дәрежелі полиномдық функциялардың түбірлерін табу үшін күрделі сандардың табылуы. Кейбір сандық өрістерде бүтін сандар сақиналары болады, олар бірегей жіктеу аймағын құрамайды, мысалы, кеңейтілген өріс. Фракталдар мен басқа да "қиын" геометриялық нысандардың ашылуы (Хаусдорф өлшемін қараңыз). Вейерштрасс функциясы, нақты сандар осындағы нақты мәнді функция, ол барлық жерде үздіксіз, бірақ еш жерде туындыланбайды. Мінез-құлықтың патологиялық екендігі анықтама бойынша жеке адамның сезіміне байланысты. Патологиялар контекстке, оқуға және тәжірибеге байланысты, ал бір зерттеуші үшін патологиялық болып көрінетін нәрсе, екіншісі үшін қалыпты мінез-құлық болуы мүмкін. Патологиялық мысалдар теоремадағы болжамдардың маңыздылығын көрсетуі мүмкін. Мысалы, статистикада Коши таралымы орталық шекті теореманы қанағаттандырмайды, тіпті оның симметриялық қоңырау пішіні көптеген таралымдарға ұқсас болса да; ол орташа және стандартты қатеудің бар екендігі және шекті екендігі талабын орындамайды. Банах-Тарски парадоксы және Хаусдорф парадоксы сияқты ең белгілі парадокстар өлшенбейтін жиынтықтардың болуына негізделген. Математиктер, егер олар таңдау аксиомасын жоққа шығаратын азшылық позицияны қабылдамаса, әдетте мұндай жиынтықтармен өмір сүруге дайын тұрады.

Компьютерлік ғылым

Компьютерлік ғылымда "патологиялық" термині алгоритмдерді зерттеуге қатысты сәл өзгеше мағынаға ие. Мұнда, егер кіріс (немесе кірістер жиынтығы) алгоритмнен қалыптан тыс әрекеттерге немесе оның орташа жағдайдағы күрделілігін, тіпті дұрыстығын бұзуға себеп болса, ол патологиялық деп аталады. Мысалы, хэш-кестелерде патологиялық кірістер кездеседі: хэш-мәндеріне қақтығыс тудыратын кілттер жиынтығы. Жылдам сұрыптау әдетте белгілі бір уақыт күрделілігіне ие, бірақ оған нашар жұмыс ілетуге себеп болатын кіріс берілгенде нашарлайды. Бұл термин көбінесе сынды, осындай кірістерді күнделікті жұмысты бұзу үшін арнайы жасалған деп есептеу үшін қолданылады (Византиямен салыстырыңыз). Дегенмен, патологиялық кірістердің бар екенін білу маңызды, өйткені оларды пайдаланып компьютерлік жүйеге қызметтен бас тарту шабуылы жасауға болады. Сондай-ақ, бұл мағынадағы термин, басқа мағыналары сияқты, субъективті бағалауға байланысты. Белгілі бір мерзім ішінде, жеткілікті түрде үлкен және әртүрлі пайдаланушылар қауымдастығы (немесе басқа факторлар) болған жағдайда, патологиялық деп есептелген кіріс шын мәнінде пайда болуы мүмкін (Ариан 5 ғарыш кемесінің алғашқы сынақ ұшуында байқалғандай).

Ерекшеліктер

Осыған ұқсас, бірақ ерекше құбылыс – ерекше объектілер (және ерекше изоморфизмдер), ол жалпы үлгіге "шағын" саны ерекшеліктер болған кезде пайда болады (мысалы, әдеттегі шексіз ережеге шекті ерекшеліктер жиынтығы). Ал патологиялық жағдайларда құбылыстың көп бөлігі немесе дерлік барлық жағдайлары патологиялық болып табылады (мысалы, нақты сандардың көп бөлігі иррационалды). Субъективті тұрғыдан, ерекше объектілер (мысалы, икосаэдр немесе спорадикалық жай топтар) әдетте теорияның күтпеген, "әдемі" мысалдары деп есептеледі, ал патологиялық құбылыстар көбінесе "құрылыссыз" болып саналады, атауы да осыны білдіреді. Сәйкесінше, теориялар әдетте ерекше объектілерді қамтиды. Мысалы, ерекше Ли алгебралары жартылай жай Ли алгебралары теориясына кіреді: аксиомалар жақсы, ал ерекше объектілер күтпеген, бірақ дұрыс болып көрінеді. Керісінше, патологиялық мысалдар аксиомалардағы кемшіліктерді көрсету үшін қолданылады, оларды жою үшін күштірек аксиомалар қажет. Мысалы, Шенфлистің мәселесінде сфераның енуінің жайлылығын талап ету. Жалпы алғанда, адам патологияларды қоса, олар өз қарапайымдауларын ұсына алатын, жалпы теорияны зерттеуі мүмкін (нақты сандар рационал сандардан өзгеше қасиеттерге ие, сондай-ақ үздіксіз функциялар тегіс функциялардан өзгеше қасиеттерге ие), сонымен қатар бастапқы мысалдар алынған тар теорияны да зерттеуі мүмкін.