Введение

Математические явления, свойства которых не соответствуют интуитивным представлениям.

В математике явление, идущее вразрез с интуицией, иногда называют патологическим. С другой стороны, если явление не противоречит интуиции, его иногда называют хорошо изученным. Эти термины иногда оказываются полезными в математических исследованиях и обучении, однако строгого математического определения понятий "патологический" или "хорошо изученный" не существует.

В топологии

Один из известных контрпримеров в топологии — сфера с рогами Александра, демонстрирующая, что топологическое вложение сферы S² в R³ может не приводить к четкому разделению пространства. Этот контрпример побудил математиков определить понятие гладкости, которое подавляет такой тип «дикого» поведения, как у сферы с рогами, дикого узла и других подобных примеров. Как и многие другие патологии, сфера с рогами в определенном смысле использует бесконечно тонкую, рекурсивно генерируемую структуру, которая в пределе противоречит обычной интуиции. В данном случае, топология бесконечно убывающей цепи переплетающихся петель, состоящих из непрерывных частей сферы, в пределе полностью соответствует топологии обычной сферы, и можно ожидать, что внешняя область после вложения будет вести себя аналогично. Однако это не так: она не является односвязной. Подробную теорию смотрите в теореме Жордана — Шёнфлиса. «Контрпримеры в топологии» — целая книга, посвященная подобным контрпримерам.

Патологические примеры

Патологические примеры часто обладают нежелательными или необычными свойствами, которые затрудняют их включение или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто стимулирует новые исследования, приводящие к новым теориям и более общим результатам. Некоторые важные исторические примеры включают:

Открытие иррациональных чисел пифагорейцами в Древней Греции; например, длина диагонали единичного квадрата. Открытие комплексных чисел в XVI веке для нахождения корней кубических и квартичных полиномиальных функций. Некоторые числовые поля имеют кольца целых чисел, которые не образуют область однозначной факторизации, например, расширенное поле. Открытие фракталов и других "неровных" геометрических объектов (см. размерность Хаусдорфа). Функция Вейерштрасса – функция, принимающая действительные значения на действительной прямой, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема. Вопрос о том, является ли поведение патологическим, по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что для одного исследователя является патологическим, для другого может быть стандартным поведением. Патологические примеры могут подчеркнуть важность предположений в теореме. Например, в статистике распределение Коши не удовлетворяет центральной предельной теореме, хотя его симметричная колоколообразная форма похожа на многие распределения, которые ей удовлетворяют; оно не соответствует требованию существования конечного среднего и стандартного отклонения. Некоторые из наиболее известных парадоксов, такие как парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа, основаны на существовании не измеримых множеств. Математики, если они не придерживаются меньшинства, отрицающего аксиому выбора, в целом смирились с необходимостью учитывать такие множества.

Информатика

В информатике термин "патологический" имеет несколько иное значение применительно к изучению алгоритмов. В этом контексте входные данные (или набор входных данных) считаются патологическими, если они вызывают нетипичное поведение алгоритма, например, нарушение его сложности в среднем случае или даже его корректности. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входные данные – наборы ключей, приводящие к коллизиям хеш-значений. Быстрая сортировка обычно имеет временную сложность, но деградирует до при получении входных данных, вызывающих неоптимальное поведение. Этот термин часто используется в негативном ключе, как способ отбросить такие входные данные, считая их специально сконструированными для нарушения корректной работы алгоритма в обычных условиях (сравните с византийской проблемой). С другой стороны, знание о патологических входных данных важно, поскольку их можно использовать для организации атаки типа "отказ в обслуживании" на компьютерную систему. Кроме того, использование этого термина в данном смысле является вопросом субъективной оценки, как и в других его значениях. При достаточно длительном времени работы, достаточно большом и разнообразном сообществе пользователей (или других факторах) входные данные, которые могут быть отклонены как патологические, вполне могут возникнуть на практике (как это произошло во время первого испытательного полета Ariane 5).

Исключения

Аналогичным, но отличным явлением является явление исключительных объектов (и исключительных изоморфизмов), которое возникает, когда существует «небольшое» число исключений из общей закономерности (например, конечное множество исключений из в противном случае бесконечного правила). В отличие от этого, в случаях патологии, как правило, большинство или почти все проявления явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны). Субъективно, исключительные объекты (такие как икосаэдр или спорадические простые группы) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «неприглядными», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются, чтобы включить исключительные объекты. Например, исключительные алгебры Ли включаются в теорию полупростых алгебр Ли: аксиомы считаются состоятельными, а исключительные объекты – неожиданными, но допустимыми. Напротив, патологические примеры, напротив, указывают на недостатки аксиом, требуя более строгих аксиом для их исключения. Например, требование умеренности при вложении сферы в проблему Шёнфлиса. В целом, можно изучать более общую теорию, включающую патологии, что может привести к собственным упрощениям (действительные числа обладают свойствами, сильно отличающимися от рациональных, и аналогично, непрерывные отображения обладают свойствами, сильно отличающимися от гладких), но также и более узкую теорию, из которой были взяты исходные примеры.