Кіріспе
Екі жиын арасындағы математикалық қатынас. Математикада, егер екі жиын немесе A және B кластары арасында бір-бір сәйкестік (немесе биекция) болса, олар тең санды болып табылады, яғни A-дан B-ге функция болса, онда B-нің әрбір элементі үшін A-да дәл бір элемент бар, оның f(x) = y теңдігі орындалады. Кардиналдылықты зерттеуді көбінесе эквинумероситет (санының теңдігі) деп атайды. Кейде оның орнына эквиполенттілік (көлемінің теңдігі) және эквипотенттілік (қуатының теңдігі) терминдері қолданылады. Эквинумерлік эквиваленттік қатынастың сипаттамалық қасиеттеріне ие және бірдей кардиналдыққа ие деп айтылады. X жиынының кардиналдылығы – жиынның элементтері санының өлшемі. Рефлексивтілік: A жиыны үшін, A-дағы сәйкестік функциясы A-дан өзіне биекция болып табылады, бұл әрбір A жиыны өзіне тең екенін көрсетеді: A ~ A. Симметрия: A және B екі жиыны арасындағы әрбір биекция үшін B және A арасында биекция болатын кері функция бар, яғни A жиыны B жиынына тең болса, B де A жиынына тең болады: A ~ B ⇒ B ~ A. Транзитивтілік: A, B және C үш жиыны үшін, егер екі биекция f: A → B және g: B → C болса, онда осы биекциялардың композициясы g ∘ f, A-дан C-ға биекция болады. Сондықтан, егер A және B тең санды болса және B және C тең санды болса, онда A және C тең санды болады: A ~ B және B ~ C бірге ⇒ A ~ C. Зермело-Франкель жиын теориясы шеңберінде қатынастар жиындармен ғана шектеледі (A жиынындағы екілік қатынас – A × A картезиан көбейтіндісінің ішкі жиыны), және Зермело-Франкель жиын теориясында барлық жиындар жиыны жоқ. Зермело-Франкель жиын теориясында жиынның кардиналдығын оған тең санды барлық жиындардың эквиваленттік класы ретінде анықтаудың орнына, әрбір эквиваленттік классқа өкілдік жиынды тағайындау (кардиналдық тағайындау) қабылданады. Аксиомалық жиын теориясының басқа жүйелерінде, мысалы, фон Нейман-Бернестің-Гёдель жиын теориясында және Морзе-Келли жиын теориясында қатынастар классқа дейін кеңейтіледі. A жиынының кардиналдығы B жиынының кардиналдығынан кіші немесе тең деп айтылады, егер A-дан B-ға бір-бірге сәйкестік (инъекция) болса. Бұл |A| ≤ |B| деп белгіленеді. Егер A және B тең санды болмаса, онда A жиынының кардиналдығы B жиынының кардиналдығынан қатаң кішірек деп айтылады. Бұл |A| < |B| деп белгіленеді. Егер таңдау аксиомасы орындалса, онда трихотомия заңы кардинал сандар үшін орындалады, яғни кез келген екі жиын не тең санды, не біреуінің кардиналдығы екіншісінен қатаң кішірек. Шрёдер-Бернштейн теоремасы бойынша, егер A және B жиындары үшін екі бір-бірге сәйкестік f: A → B және g: B → A болса, онда олар тең санды болады: егер |A| ≤ |B| және |B| ≤ |A| болса, онда |A| = |B|. Математика философиясы сандардың нақты, аяқталған жиынтықты (нақты шексіздікті) құрай алатыны туралы идеяны қабылдамады. Алайда Кантордың идеяларын Ричард Дедекинд сияқты басқалар қорғады және олар Дэвид Гильбертпен күшті қолдау тапты. Кантор теориясының даулары туралы толық ақпарат алу үшін қараңыз. Зермело-Франкель жиын теориясы шеңберінде қуат жиыны аксиомасы кез келген жиынның қуат жиынының бар екенін кепілдейді. Сонымен қатар, шексіздік аксиомасы кем дегенде бір шексіз жиынның бар екенін кепілдейді, атап айтқанда, натурал сандарды қамтитын жиын. Баламалы жиын теориялары бар, мысалы, "жалпы жиын теориясы" (GST), Крипке-Платек жиын теориясы және қалталық жиын теориясы (PST), олар қуат жиыны аксиомасын және шексіздік аксиомасын қасақана қалдырады және Кантор ұсынған шексіздердің шексіз иерархиясын анықтауға жол бермейді. N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))) жиындарына сәйкес келетін кардиналдар – бет сандары , , , , , ал бірінші бет саны (алеф-нөл) кез келген саналатын шексіз жиынның кардиналдығына тең, ал екінші бет саны континуумының кардиналдығына тең.
In mathematics, two sets or classes A and B are equinumerous if there exists a one to one correspondence (or bijection) between them, that is, if there exists a function from A to B such that for every element y of B, there is exactly one element x of A with f(x) = y. The study of cardinality is often called equinumerosity (equalness of number). The terms equipollence (equalness of strength) and equipotence (equalness of power) are sometimes used instead. Equinumerosity has the characteristic properties of an equivalence relation. and are said to have the same cardinality. The cardinality of a set X is essentially a measure of the number of elements of the set. Reflexivity Given a set A, the identity function on A is a bijection from A to itself, showing that every set A is equinumerous to itself: A ~ A.
Symmetry For every bijection between two sets A and B there exists an inverse function which is a bijection between B and A, implying that if a set A is equinumerous to a set B then B is also equinumerous to A: A ~ B implies B ~ A.
Transitivity Given three sets A, B and C with two bijections f : A → B and g : B → C, the composition g ∘ f of these bijections is a bijection from A to C, so if A and B are equinumerous and B and C are equinumerous then A and C are equinumerous: A ~ B and B ~ C together imply A ~ C.
An attempt to define the cardinality of a set as the equivalence class of all sets equinumerous to it is problematic in Zermelo–Fraenkel set theory, the standard form of axiomatic set theory, because the equivalence class of any non empty set would be too large to be a set: it would be a proper class. Within the framework of Zermelo–Fraenkel set theory, relations are by definition restricted to sets (a binary relation on a set A is a subset of the Cartesian product A × A), and there is no set of all sets in Zermelo–Fraenkel set theory. In Zermelo–Fraenkel set theory, instead of defining the cardinality of a set as the equivalence class of all sets equinumerous to it one tries to assign a representative set to each equivalence class (cardinal assignment). In some other systems of axiomatic set theory, for example in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory and Morse–Kelley set theory, relations are extended to classes. A set A is said to have cardinality smaller than or equal to the cardinality of a set B, if there exists a one to one function (an injection) from A into B. This is denoted |A| ≤ |B|. If A and B are not equinumerous, then the cardinality of A is said to be strictly smaller than the cardinality of B. This is denoted |A| < |B|. If the axiom of choice holds, then the law of trichotomy holds for cardinal numbers, so that any two sets are either equinumerous, or one has a strictly smaller cardinality than the other. The Schröder–Bernstein theorem states that any two sets A and B for which there exist two one to one functions f : A → B and g : B → A are equinumerous: if |A| ≤ |B| and |B| ≤ |A|, then |A| = |B|. philosophy of mathematics and rejected the idea that numbers can form an actual, completed totality (an actual infinity). However, Cantor's ideas were defended by others, for example by Richard Dedekind, and ultimately were largely accepted, strongly supported by David Hilbert. See Controversy over Cantor's theory for more. Within the framework of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of power set guarantees the existence of the power set of any given set. Furthermore, the axiom of infinity guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. There are alternative set theories, e. g. "general set theory" (GST), Kripke–Platek set theory, and pocket set theory (PST), that deliberately omit the axiom of power set and the axiom of infinity and do not allow the definition of the infinite hierarchy of infinites proposed by Cantor. The cardinalities corresponding to the sets N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), are the beth numbers , , , , , with the first beth number being equal to (aleph naught), the cardinality of any countably infinite set, and the second beth number being equal to , the cardinality of the continuum.
Дедекиндтік шексіз жиынтықтар
Кейбір жағдайларда, S жиынтығы мен оның нақты кіші жиынтығы эквивалентті болуы мүмкін. Мысалы, жұп табиғи сандар жиыны барлық табиғи сандар жиынымен эквивалентті. Өзінің нақты кіші жиынтығымен эквивалентті жиын Дедекинд шексіз деп аталады. Дедекинд бергеннен өзге жиынтардың шектілігі мен шексіздігінің анықтамалары үшін таңдау аксиомасы қажет емес, қараңыз.
Санаттық анықтамасы
Категориялар теориясында жиынтықтар категориясы, Set деп белгіленеді, – барлық жиынтықтарды объектілер жиыны және жиынтықтар арасындағы барлық функцияларды морфизмдер жиыны ретінде қамтитын категория. Морфизмдердің құрамы функциялардың құрамымен анықталады. Set-те екі жиын арасындағы изоморфизм – дәл біекция, ал екі жиын Set-тегі объектілер ретінде изоморфты болса ғана тең сандық болып табылады.