Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Шексіз реттік сан класы
Infinite ordinal number class
Множталар теориясында, лимит ординал – нөл емес және кейінгі ординал емес ординал сан. Басқаша айтқанда, λ ординалы лимит ординал болып табылады, егер λ-дан кіші ординал болса, және егер β λ-дан кіші ординал болса, онда β < γ < λ болатын γ ординалы бар. Кез келген ординал сан нөл, немесе кейінгі ординал, немесе лимит ординал болып табылады. Мысалы, ең кіші лимит ординал – ω, барлық натурал сандардан үлкен ең кіші ординал. Бұл лимит ординал, себебі кез келген кіші ординал үшін (яғни, кез келген натурал сан үшін) n, одан үлкен басқа натурал санды табуға болады (мысалы, n+1), бірақ ол ω-дан кіші болады. Келесі ең кіші лимит ординал – ω+ω. Бұл туралы мақалада толығырақ талқыланады. Фон Нейманның ординалдар анықтамасын қолдану арқылы, әрбір ординал – барлық кіші ординалдардың жақсы реттелген жиыны болып табылады. Ең үлкен элементі жоқ бос емес ординалдар жиынының біріктірілісі әрқашан лимит ординал болып табылады. Фон Нейманның кардиналдарға тағайындауын қолдану арқылы, әрбір шексіз кардинал сан да лимит ординал болып табылады.
In set theory, a limit ordinal is an ordinal number that is neither zero nor a successor ordinal. Alternatively, an ordinal λ is a limit ordinal if there is an ordinal less than λ, and whenever β is an ordinal less than λ, then there exists an ordinal γ such that β < γ < λ. Every ordinal number is either zero, or a successor ordinal, or a limit ordinal. For example, the smallest limit ordinal is ω, the smallest ordinal greater than every natural number. This is a limit ordinal because for any smaller ordinal (i. e., for any natural number) n we can find another natural number larger than it (e. g. n+1), but still less than ω. The next smallest limit ordinal is ω+ω. This will be discussed further in the article. Using the von Neumann definition of ordinals, every ordinal is the well ordered set of all smaller ordinals. The union of a nonempty set of ordinals that has no greatest element is then always a limit ordinal. Using von Neumann cardinal assignment, every infinite cardinal number is also a limit ordinal.
Қасиеттері
Мұрагер ординалдардың және түрлі кофиналдылықтары бар шекті ординалдардың кластары, сондай-ақ нөл, ординалдардың бүкіл класын қамтиды, сондықтан осы жағдайлар трансфиниттік индукция арқылы дәлелдеулерде немесе трансфиниттік рекурсия арқылы анықтамаларда жиі қолданылады. Шекті ординалдар мұндай процедуралардағы "түбірлі өзгеріс нүктесін" білдіреді, онда барлық алдыңғы ординалдардың біріктірілуін алу сияқты шектеу операцияларын қолдану қажет. Принцип бойынша, шекті ординалдарда кез келген амал жасауға болады, бірақ біріктірілу реттік топологияда үздіксіз болып келеді, және бұл әдетте қажет. Егер біз фон Нейманның кардиналдарға тағайындауын қолдансақ, әрбір шексіз кардинал саны да шекті ординал болып табылады (бұл латын тіліндегі *cardo* сөзінен, яғни "біліктік" немесе "түбірлі өзгеріс нүктесі" деген мағынадан туындаған орынды байқау): осы фактіні дәлелдеу әрбір шексіз мұрагер ординалдың шекті ординалға эквивалентті екенін көрсету арқылы жүзеге асырылады. Кардинал сандардың өзі мұрагерлік және шектілік туралы өз ұғымдарына ие (барлығы жоғары деңгейге көтеріледі).
The classes of successor ordinals and limit ordinals (of various cofinalities) as well as zero exhaust the entire class of ordinals, so these cases are often used in proofs by transfinite induction or definitions by transfinite recursion. Limit ordinals represent a sort of "turning point" in such procedures, in which one must use limiting operations such as taking the union over all preceding ordinals. In principle, one could do anything at limit ordinals, but taking the union is continuous in the order topology and this is usually desirable. If we use the von Neumann cardinal assignment, every infinite cardinal number is also a limit ordinal (and this is a fitting observation, as cardinal derives from the Latin cardo meaning hinge or turning point): the proof of this fact is done by simply showing that every infinite successor ordinal is equinumerous to a limit ordinal via the Hotel Infinity argument. Cardinal numbers have their own notion of successorship and limit (everything getting upgraded to a higher level).