Кіріспе

Математикада, жиынның кофинитті жиынтығы – сол жиынның толықтығы шекті жиын болатын жиын. Яғни, бұл жиын сол жиынның тек шекті сандағы элементтерін қамтамайды. Егер толықтығы шекті болмаса, бірақ санаулы болса, онда жиын санаулы емес деп айтылады. Мұндай жиындар, шекті жиындардағы құрылымдарды шексіз жиындарға, әсіресе шексіз көбейтінділерге, мысалы, көбейтінді топологиясында немесе тікелей қосындысында жалпылау кезінде табиғи түрде туындайды. Жиынның толықтығына тән қасиетті сипаттау үшін "co" префиксін қолдану, "comeagre set" сияқты басқа терминдердегі қолданылуымен үйлеседі.

Буль алгебрасы

Берілген жиынның барлық шекті немесе кофинитті жиынтықтары Буль алгебрасын құрайды, яғни ол одақтастыру, қиылысу және толықтыру операциялары бойынша жабық. Бұл Буль алгебрасы – берілген жиынның шекті-кофинитті алгебрасы.

Керісінше, Буль алгебрасының бірегей негізгі емес ультрафильтрі (яғни алгебраның бір ғана елементімен туындамайтын максималды сүзгі) бар, егер және тек қана егер шексіз жиын болса, ол берілген жиынның шекті-кофинитті алгебрасына изоморфты болады. Бұл жағдайда негізгі емес ультрафильтр – берілген жиынның барлық кофинитті жиынтықтарының жиыны.

Кофинитті топология

Кофинитті топология (кейде шекті толықтыру топологиясы деп аталады) – кез келген жиынға анықталатын топология. Онда бос жиын және жиынның барлық кофинитті кіші жиындары ашық жиындар болып табылады. Осының салдарынан, кофинитті топологиядағы жалғыз жабық кіші жиындар – шекті жиындар немесе жиынның өзі. Символмен, топологияны былай жазуға болады:

Бұл топология Зариски топологиясының контекстінде табиғи түрде пайда болады. Өрісте бір айнымалыдағы көпмүшелер шекті жиындарда немесе жиынның өзінде нөлге тең болатындықтан, (аффинді түзу ретінде қарастырылатын) жиынғы Зариски топологиясы кофинитті топология болып табылады. Бұл кез келген түйінделмейтін алгебралық қисық үшін де осылай, бірақ мысалы, жазықтықтағы үшін емес.

Қасиеттері

Қосалқы кеңістіктер: Кофиниттік топологияның кез келген қосалқы кеңістік топологиясы да кофиниттік топология болып табылады. Жиықтық: Кез келген ашық жиын кеңістіктің барлық нүктелерін, тек шекті санынан басқа, қамтиды, сондықтан кеңістік жиық және тізбекті жиық. Ажырату: Кофиниттік топология – T1 аксиомасын қанағаттандыратын ең жуан топология; яғни, әрбір бір элементті жиын жабық болатын ең кіші топология. Шындығында, кез келген топология T1 аксиомасын қанағаттандырады, егер және тек қана егер ол кофиниттік топологияны қамтитын болса. Егер кеңістік шекті болса, онда кофиниттік топология қарапайым дискреттік топология болады. Егер кеңістік шекті болмаса, онда бұл топология Хаусдорф (T2), тұрақты немесе нормальды емес, себебі екі бос емес ашық жиынның арасында ортақ нүктелер болады (яғни, ол гипербайланысқан).

Екі нүктелі кофинитті топология

Екі нүктелі кофинитті топология – әрбір нүктесі екі рет қайталанған кофинитті топология; яғни, бұл екі элементті жиынтақтағы кофинитті топологияның индискретті топологиямен топологиялық көбейтіндісі. Бұл T0 немесе T1 емес, себебі әрбір жұптың нүктелері топологиялық тұрғыдан ажыратылмайды. Дегенмен, ол R0 болып табылады, өйткені топологиялық тұрғыдан ажыратылатын нүктелер бөлініп тұрады. Кеңістік екі компакт кеңістіктің көбейтіндісі ретінде компакт; сондай-ақ, ол компакт, себебі кез келген бос емес ашық жиын шекті сандағы нүктелерді қоспағанда, барлық нүктелерді қамтиды. Саналатын екі нүктелі кофинитті топологияның мысалы ретінде, бүтін сандар жиынына мынадай топология берілуі мүмкін: әрбір жұп сан келесі тақ саннан топологиялық тұрғыдан ажыратылмайды. Жабық жиынтықтар – шекті сандағы жұптардың бірігімі немесе толық жиын. Ашық жиынтықтар – жабық жиынтықтардың толықтырулары; атап айтқанда, әрбір ашық жиын шекті сандағы жұптарды қоспағанда, барлық жұптардан тұрады немесе бос жиын болып табылады.