Введение
Будучи подмножеством, дополнение которого является конечным множеством.
В математике коконечное подмножество множества — это подмножество, дополнение которого в этом множестве является конечным. Иными словами, оно содержит все элементы исходного множества, кроме конечного числа. Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество ко-счетно. Такие подмножества возникают естественным образом при обобщении структур с конечных множеств на бесконечные, особенно в бесконечных произведениях, например, в топологии произведения или прямой сумме. Использование префикса "ко-" для описания свойства, которым обладает дополнение множества, согласуется с его использованием в других терминах, таких как "негде́нсное множество".
Булева алгебра
Множество всех подмножеств, которые являются конечными или коконечными, образует булеву алгебру, что означает, что оно замкнуто относительно операций объединения, пересечения и взятия дополнения. Эта булева алгебра является алгеброй конечных–коконечных множеств на .
В обратном направлении, булева алгебра имеет единственный неглавный ультрафильтр (то есть, максимальный фильтр, не порожденный одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество , такое что изоморфно алгебре конечных–коконечных множеств на . В этом случае, неглавный ультрафильтр является множеством всех коконечных подмножеств .
Кофинитная топология
Кофинитная топология (иногда называемая топологией с конечным дополнением) — это топология, которую можно определить на любом множестве. Она содержит ровно пустое множество и все кофинитные подмножества в качестве открытых множеств. Как следствие, в кофинитной топологии единственными замкнутыми подмножествами являются конечные множества или само множество. Символически, эту топологию можно записать как…
Эта топология естественно возникает в контексте топологии Зариски. Поскольку многочлены от одной переменной над полем обращаются в нуль на конечных множествах или на всем множестве, топология Зариски на (рассматриваемая как аффинная прямая) является кофинитной топологией. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой; это не так, например, для в плоскости.
Свойства
Подпространства: Каждая подпространственная топология кофинитной топологии также является кофинитной топологией. Компактность: Поскольку каждое открытое множество содержит все точки пространства, кроме конечного числа, пространство компактно и последовательно компактно. Разделение: Кофинитная топология является наиболее грубой топологией, удовлетворяющей аксиоме T1; то есть, это наименьшая топология, для которой каждое одноэлементное множество замкнуто. Фактически, произвольная топология на X удовлетворяет аксиоме T1 тогда и только тогда, когда она содержит кофинитную топологию. Если X конечно, то кофинитная топология является просто дискретной топологией. Если X бесконечно, то эта топология не является хаусдорфовой (T2), регулярной или нормальной, поскольку никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися (то есть она гиперсвязна).
Двухконечная кофинитная топология
Двуночная кофинитная топология — это кофинитная топология, в которой каждая точка удвоена; то есть, это топологическое произведение кофинитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Она не является T0 или T1, поскольку точки в каждой паре топологически неразличимы. Однако она является R0, так как топологически различимые точки разделены. Пространство компактно как произведение двух компактных пространств; альтернативно, оно компактно, потому что каждое непустое открытое множество содержит все точки, кроме конечного числа. В качестве примера счетной двуночной кофинитной топологии, множество целых чисел можно снабдить топологией, в которой каждое четное число топологически неразличимо от следующего нечетного числа. Закрытыми множествами являются объединения конечного числа пар или всё множество. Открытые множества являются дополнениями к закрытым множествам; а именно, каждое открытое множество состоит из всех пар, кроме конечного числа, или является пустым множеством.