Кіріспе

Топтың түрі және алгебралық бейнелеу

Математикада, әсіресе топтар мен алгебралардың бейнелеу теориясында, алгебралық құрылымның ирредуктивті бейнелеуі немесе irrep – нөлдік емес бейнелеу, онда ешқандай бұрыштас емес, тривиальды емес кіші бейнелеу болмайды, және ол әрекет ету арқылы жабық. Кез келген шекті өлшемді унитарлық бейнелеу, Хилберт кеңістігінде, ирредуктивті бейнелеулердің тікелей қосындысы болып табылады. Ирредуктивті бейнелеулер әрқашан ажыратылмайтын (яғни бейнелеулердің тікелей қосындысына одан әрі жіктелмейді), бірақ керісінше дұрыс болмауы мүмкін, мысалы, жоғарғы үшбұрышты унипотент матрицалар арқылы әрекет ететін нақты сандардың екі өлшемді бейнелеуі ажыратылмайтын, бірақ ирредуктивті емес.

Тарих

Топтық бейнелеу теориясы 1940-шы жылдары Ричард Брауэр тарапынан модульдік бейнелеу теориясын жасау үшін жалпыланды, онда матрицалық операторлар нақты немесе кешенді сандар өрісі емес, кез келген сипаттамасы бар өріс үстіндегі векторлық кеңістікте әрекет етеді. Соның салдарынан туындаған теориядағы ирредуктивті бейнелеуге аналогты құрылым қарапайым модуль болып табылады.

Шолу

Болсын – бейнелеу, яғни топтың гомоморфизмі, мұнда – дала үстіндегі векторлық кеңістік. Егер біз үшін негізді таңдасақ, оны топтан инвертирленетін матрицалар жиынына функция (гомоморфизм) ретінде қарастыруға болады, және осы контексте бұл матрицалық бейнелеу деп аталады. Алайда, егер біз негізсіз кеңістікті қарастырсақ, бұл мәселені қатты жеңілдетеді. Егер барлық және барлық үшін , онда сызықтық кеңістік инвариантты деп аталады. Инвариантты кеңістіктің жалпы сызықтық тобына шектеу – субрепрезентация деп аталады. Егер бейнелеуде тек тривиалды субрепрезентациялар ғана болса, онда бейнелеу толық емес деп айтылады (барлық бейнелеулер тривиалды инвариантты кеңістіктермен субрепрезентация құра алады, мысалы, бүкіл векторлық кеңістік және {0}). Егер дұрыс, тривиалды емес инвариантты кеңістік болса, онда бейнелеу толық деп айтылады.

Қайталанатын және қайталанбайтын бейнелеулер

Өкілдік, егер ол тривиальді емес G-инвариантты кіші кеңістікті қамтыса, тобырлы болады, яғни барлық матрицаларды бір инверттік матрицамен жоғарғы үшбұрышты блок түрінде көрсетуге болады. Басқаша айтқанда, егер ұқсастық түрлендіруі болса:

ол өкілдіктегі әрбір матрицаны бір үлгідегі жоғарғы үшбұрышты блоктарға бейнелейді. Кез келген реттелген кіші блок – топтық субөкілдік. Яғни, егер өкілдік, мысалы, 2-өлшемді болса, онда бізде:

мұндағы – тривиальді емес субөкілдік. Егер біз сондай матрицаны таба алсақ, ол тобырлы ғана емес, сонымен қатар толық ыдырайтын болады. Назар аударыңыз: Өкілдік тобырлы болса да, оның матрицалық өкілдігі үстіңгі үшбұрышты блок түрінде болмауы мүмкін. Бұл түрі тек қана егер біз жоғарыда көрсетілген матрицаны стандартты негізге қолдану арқылы алуға болатын қолайлы негізді таңдасақ ғана мүмкін.

Қайталана алмайтын бейнелеу мен бөлшектемейтін бейнелеу арасындағы байланыс

Азайтылмайтын бейнелеу өзінің мәні бойынша ажыратылмайтын бейнелеу болып табылады. Дегенмен, керісінше дұрыс болмауы мүмкін. Бірақ кейбір шарттарда, ажыратылмайтын бейнелеу азайтылмайтын бейнелеу болып табылады. Егер топ шекті болса және оның өрісте бейнелеуі болса, онда ажыратылмайтын бейнелеу – азайтылмайтын бейнелеу болады. Егер топ шекті болса және оның өрісте бейнелеуі болса, және егер онда ажыратылмайтын бейнелеу – азайтылмайтын бейнелеу болады.

Трифуальдық бейнелеу

Барлық топтардың бір өлшемді, азайтылмас тривиалды өкілдігі болады, барлық топ элементтерін сәйкестік түрлендіруге бейнелеу арқылы.

Бір өлшемді бейнелеу

Кез келген бір өлшемді өрнектеу ирредукциялық болады, себебі оның бұрыс, тривиалды емес ішкі кеңістіктері жоқ.

Қайталана алмайтын күрделі бейнелер

G шекті тобының қайталанбайтын кешенді бейнелеулері сипаттама теориясының нәтижелерін қолдану арқылы сипатталуы мүмкін. Атап айтқанда, барлық кешенді бейнелеулер қайталанбайтын бейнелеулердің тікелей қосындысы ретінде ыдырайды, ал G тобының қайталанбайтын бейнелеулер саны оның конъюгация кластарының санына тең. G тобының қайталанбайтын кешенді бейнелеулері нақты түрде φ: G → C* функцияларымен беріледі, мұнда C* бірліктің n-ші түбірі. Егер V, G тобының өлшемді кешенді бейнелеуі болса және оның базасы {e₁, ..., eₙ} болса, онда V, қайталанбайтын бейнелеулердің тікелей қосындысы және ортогональды кеңістік ретінде ыдырайды. Алғашқы қайталанбайтын бейнелеу бір өлшемді және G тобының тривиальды бейнелеуімен изоморфты. Екіншісі (n-1) өлшемді және G тобының стандартты бейнелеуі деп аталады.

Лоренц тобы

D(('K') және D(('J') иррептері, мұндағы 'J' – айналу генераторы, ал 'K' – күшейту генераторы, Лоренц тобының спиндік өкілдіктерін құруға қолданылуы мүмкін, себебі олар кванттық механиканың спин матрицаларымен байланысты. Бұл оларға релятивистік толқын теңдеулерін туындыруға мүмкіндік береді.