Введение

Тип группы и алгебраическое представление

В математике, в частности в теории представлений групп и алгебр, неразложимое представление, или irrep алгебраической структуры, — это ненулевое представление, не имеющее собственных нетривиальных подпредставлений, инвариантных относительно действия. Любое конечномерное унитарное представление на гильбертовом пространстве является прямой суммой неразложимых представлений. Неразложимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть далее разложены в прямую сумму представлений), но обратное не всегда верно, например, двумерное представление действительных чисел, заданное действием верхнетреугольных унипотентных матриц, является неразложимым, но приводимым.

История

Теория представлений групп была обобщена Ричардом Брауэром начиная с 1940-х годов, что привело к созданию модулярной теории представлений, в которой матричные операторы действуют на векторном пространстве над полем произвольной характеристики, а не над полем вещественных или комплексных чисел. В полученной теории структура, аналогичная неприводимому представлению, является простым модулем.

Обзор

Пусть – представление, то есть гомоморфизм группы в группу линейных преобразований векторного пространства над полем . Если мы выберем базис для , то можно рассматривать как функцию (гомоморфизм) из группы в множество обратимых матриц, и в этом контексте оно называется матричным представлением. Однако, значительно проще рассматривать пространство без выбора базиса. Линейное подпространство называется инвариантным, если для всех и всех . Ограничение на общую линейную группу инвариантного подпространства называется подпредставлением. Представление называется неприводимым, если оно имеет только тривиальные подпредставления (любое представление может образовывать подпредставление с тривиальными инвариантными подпространствами, например, с самим векторным пространством и с {0}). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, то представление называется приводимым.

Сокращаемые и не сокращаемые представления

Представление является редуцируемым, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, то есть все матрицы представления можно привести к верхнему треугольному блочному виду с помощью одной и той же обратимой матрицы. Иными словами, существует преобразование подобия:

которое отображает каждую матрицу в представлении в верхние треугольные блоки одного и того же типа. Каждый упорядоченный минорный блок является подпредставлением группы. Например, если представление имеет размерность 2, то мы имеем:

где – нетривиальное подпредставление. Если мы сможем найти матрицу , которая приводит к такому же виду, то является не только редуцируемым, но и разложимым. Важно отметить: даже если представление редуцируемо, его матричное представление может все еще не иметь блочной верхней треугольной формы. Оно примет такую форму только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив вышеуказанную матрицу к стандартному базису.

Связь между неснижаемым представлением и неразлагаемым представлением

Неприводимое представление по своей природе является неразложимым. Однако обратное не всегда верно. Но при определенных условиях неразложимое представление является неприводимым. Если группа конечна и имеет представление над полем , то неразложимое представление является неприводимым. Если группа конечна и имеет представление над полем , и при этом , то неразложимое представление является неприводимым.

Тривиальное представление

Все группы имеют одномерное, неприводимое тривиальное представление, отображая все элементы группы в тождественное преобразование.

Одномерное представление

Любое одномерное представление является неприводимым, поскольку не имеет собственных нетривиальных подпространств.

Нередуцируемые комплексные представления

Нередуцируемые комплексные представления конечной группы G могут быть охарактеризованы с использованием результатов теории характеров. В частности, все комплексные представления раскладываются в прямую сумму неприводимых представлений, и число неприводимых представлений равно числу классов сопряженности группы G. Неприводимые комплексные представления группы G задаются отображениями , где — -й корень из единицы. Пусть V — n-мерное комплексное представление группы G с базисом {e_1, ..., e_n}. Тогда V раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений и ортогонального подпространства. Первое неприводимое представление одномерно и изоморфно тривиальному представлению, а второе n-мерно и известно как стандартное представление группы G.

Группа Лоренца

Ирепы D('K') и D('J'), где 'J' — генератор вращений, а 'K' — генератор бустов, могут быть использованы для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механики. Это позволяет выводить релятивистские волновые уравнения.