Кіріспе

Функционалдық талдаудағы "шекті" және үздіксіз өзіндік мәндерді зерттеуді байланыстыратын құрылым. Математикада, жабдықталған Гилберт кеңістігі (Гелфанд үштігі, ішкі Гилберт кеңістігі, толықтырылған Гилберт кеңістігі) – функционалдық талдаудың таралымдық және квадраттық интегралдық аспектілерін байланыстыруға арналған құрылым. Мұндай кеңістіктер спектрлік теорияны кең мағынада зерттеу үшін енгізілді. Олар "шекті күйді" (өздік вектор) және "үздіксіз спектрді" бір жерде біріктіреді.

Функционалдық талдау әдісі

Хильберттің қайырмалы кеңістігі деген ұғым бұл идеяны абстрактілі функционалдық аналитикалық аяға орналастырады. Формальды түрде, қайырмалы Хильберт кеңістігі – бұл Хильберт кеңістігі H және оның ішіндегі Φ кіші кеңістігі, ол нақтырақ топологияға ие, яғни табиғи кіріктірілуі

үздіксіз болады. Хильберт нормасы бойынша Φ кеңістігінің H кеңістігінде тығыз екенін қабылдаудың қажеті жоқ. Біз H^(*) кеңістігінің Φ^(*) кеңістігіне кіріктірілуін қарастырамыз. Соңғысы, Φ кеңістігінің "тест функциясы" топологиясындағы қос кеңістік ретінде, таралымдар немесе жалпыланған функциялар кеңістігі ретінде көрінеді, ал H кеңістігіндегі v үшін

типіндегі Φ кіші кеңістігіндегі сызықтық функционалдар таралымдар ретінде адал түрде бейнеленеді (өйткені біз Φ тығыз деп есептейміз). Енді Риес өкілдік теоремасын қолдану арқылы H^(*) кеңістігін H кеңістігімен сәйкестендіре аламыз. Сондықтан, қайырмалы Хильберт кеңістігінің анықтамасы мынадай "сэндвич" түрінде беріледі:

Ең маңызды мысалдар – Φ ядролық кеңістік болатын жағдайлар; бұл Φ кеңістігі тест функцияларынан және Φ* кеңістігі сәйкес таралымдардан тұрады деген идеяның абстрактілі көрінісі. Сонымен қатар, қарапайым мысал Соболев кеңістіктері арқылы беріледі: Мұнда (Соболев кеңістіктерінің ең қарапайым жағдайында)

мұндағы .