Введение

Конструкция, связывающая изучение "связанных" и непрерывных собственных значений в функциональном анализе. В математике, подстроенное пространство Гильберта (тройка Гельфанда, вложенное пространство Гильберта, оснащенное пространство Гильберта) — это конструкция, предназначенная для установления связи между распределениями и квадратично интегрируемыми функциями в функциональном анализе. Такие пространства были введены для изучения спектральной теории в широком смысле. Они объединяют "связанные состояния" (собственные векторы) и "непрерывный спектр" в едином контексте.

Подход функционального анализа

Концепция подстроенного пространства Гильберта помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально, подстроенное пространство Гильберта состоит из пространства Гильберта H вместе с подпространством Φ, наделенным более тонкой топологией, то есть такой, для которой естественное включение

непрерывно. Без потери общности можно предположить, что Φ плотно в H относительно нормы Гильберта. Рассмотрим включение двойственных пространств H^* в Φ^*. Последнее, двойственное к Φ в его топологии "тест-функций", реализуется как пространство обобщенных функций или распределений, и линейные функционалы на подпространстве Φ вида

для v ∈ H, верно представляются как распределения (поскольку мы предполагаем, что Φ плотно). Теперь, применяя теорему Рисса о представлении, мы можем отождествить H^* с H. Следовательно, определение подстроенного пространства Гильберта можно представить в виде "сэндвича":

Наиболее важные примеры – это те, в которых Φ является ядерным пространством; это абстрактное выражение идеи о том, что Φ состоит из тестовых функций, а Φ* – из соответствующих распределений. Также, простой пример дают пространства Соболева: Здесь (в простейшем случае пространств Соболева на ℝⁿ)

где .