Кіріспе
Математикалық логиканың кіші саласы. Математикалық логикада сипаттамалық жиын теориясы (СЖТ) — нақты түзудің және басқа поляк кеңістіктерінің "жақсы қасиеттері бар" кіші жиындарының белгілі бір кластарын зерттейді. Бұл жиын теориясындағы маңызды зерттеу салаларының бірі болып табылатын СЖТ, функционалдық анализ, эргодикалық теория, оператор алгебралары мен топтық әрекеттерді зерттеу және математикалық логика сияқты математиканың басқа салаларында да қолданылады.
In mathematical logic, descriptive set theory (DST) is the study of certain classes of "well behaved" subsets of the real line and other Polish spaces. As well as being one of the primary areas of research in set theory, it has applications to other areas of mathematics such as functional analysis, ergodic theory, the study of operator algebras and group actions, and mathematical logic.
Польшалық кеңістіктер
Сипаттамалық жиынтықтар теориясы поляк кеңістіктері мен олардың Борель жиындарын зерттеуден басталады. Польша кеңістігі – толық метрикамен метрикаланатын, екінші саналатын топологиялық кеңістік. Интуитивті түрде, бұл метрикасы "ұмытылған" толық бөлінетін метрикалық кеңістік. Мысалдарға нақты түзу, Бейр кеңістігі, Кантор кеңістігі және Гилберт кубі жатады.
Жалпыға бірдейлік қасиеттері
Польша кеңістіктерінің класы бірнеше әмбебап қасиеттерге ие, олар шектеулі нысандардағы Польша кеңістіктерін қарастыруда жалпылықты жоғалтпайтынын көрсетеді. Кез келген Польша кеңістігі Гилберт кубасының Gδ ішкі кеңістігіне гомеоморфты, ал Гилберт кубасының кез келген Gδ ішкі кеңістігі Польша кеңістігі болып табылады. Кез келген Польша кеңістігі Байр кеңістігінің үздіксіз бейнесі ретінде алынады; тіпті, кез келген Польша кеңістігі Байр кеңістігінің жабық ішкі жиынында анықталған үздіксіз биекцияның бейнесі болып табылады. Сол сияқты, кез келген компактты Польша кеңістігі Кантор кеңістігінің үздіксіз бейнесі болып табылады. Осы әмбебап қасиеттерінің және Байр кеңістігінің ыңғайлы қасиеті – гомеоморфты болуының арқасында, сипаттамалық жиын теориясының көптеген нәтижелері тек Байр кеңістігінің контекстінде дәлелденеді.
Борел жиынтығы
Топологиялық кеңістік X-тің Борел жиындарының класы X-тің ашық жиындарын қамтитын ең кіші σ-алгебрадағы барлық жиындардан тұрады. Бұл, X-тің Борел жиындары – жиындардың ең кіші жиыны, онда: X-тің кез келген ашық ішкі жиыны – Борел жиыны. Егер A жиыны Борел жиыны болса, онда оның толықтырылысы да Борел жиыны болады. Яғни, Борел жиындары толықтыру бойынша жабық. Егер An жиыны әрбір n табиғи саны үшін Борел жиыны болса, онда олардың біріктірілісі – Борел жиыны болады. Яғни, Борел жиындары саналатын біріктірулер бойынша жабық. Маңызды теорема кез келген екі санауға келмейтін поляк кеңістігі X және Y Борел изоморфты екенін көрсетеді: X-тен Y-ге бір-бірге сәйкес келу бар, онда кез келген Борел жиынының кері бейнесі Борел жиыны, ал кез келген Борел жиынының бейнесі де Борел жиыны болады. Бұл, Борел жиындары деңгейінде Байр кеңістігі мен Кантор кеңістігіне назар аударуды шектеу практикасын қосымша негіздеуге мүмкіндік береді, себебі бұл және кез келген басқа поляк кеңістіктерінің бәрі Борел жиындары деңгейінде изоморфты.
Every open subset of X is a Borel set. If A is a Borel set, so is That is, the class of Borel sets are closed under complementation. If An is a Borel set for each natural number n, then the union is a Borel set. That is, the Borel sets are closed under countable unions. A fundamental result shows that any two uncountable Polish spaces X and Y are Borel isomorphic: there is a bijection from X to Y such that the preimage of any Borel set is Borel, and the image of any Borel set is Borel. This gives additional justification to the practice of restricting attention to Baire space and Cantor space, since these and any other Polish spaces are all isomorphic at the level of Borel sets.
Борел иерархиясы
Польша кеңістігінің әрбір Борель жиыны, ашық жиындардан бастап, жиынды алу үшін саналатын біріктіру және толықтыру операцияларын қанша рет қолдану қажеттігіне қарай Борель иерархиясында жіктеледі. Жіктеу саналатын ординал сандармен беріледі. Әрбір нөлдік емес саналатын ординал α үшін , , және кластары бар. Кез келген ашық жиын деп жарияланады. A жиыны деп жарияланады, егер және тек оның толықтырылысы болса ғана. A жиыны , δ > 1, деп жарияланады, егер Ai жиындарының тізбегі болса, олардың әрқайсысы λ(i) < δ үшін болып табылады, сондықтан A жиыны болады, және тек егер ол екеуі де және болса ғана. Теорема кез келген жиынның немесе екенін көрсетеді, ал кез келген жиыны барлық α > β үшін екеуі де болады. Осылайша, иерархия мынадай құрылымға ие, онда жебелер кіріктіруді көрсетеді.
Every open set is declared to be A set is declared to be if and only if its complement is A set A is declared to be , δ > 1, if there is a sequence 〈 Ai 〉 of sets, each of which is for some λ(i) < δ, such that A set is if and only if it is both and
A theorem shows that any set that is or is , and any set is both and for all α > β. Thus the hierarchy has the following structure, where arrows indicate inclusion.
Борел жиынтықтарының тұрақтылық қасиеттері
Классикалық сипаттамалық жиын теориясы Борел жиындарының реттелу қасиеттерін зерттейді. Мысалы, поляк кеңістігінің барлық Борел жиындары Бейр қасиетіне және толық жиын қасиетіне ие. Қазіргі заманғы сипаттамалық жиын теориясы осы нәтижелердің поляк кеңістіктерінің басқа жиындарына қалай жалпыланатынын немесе жалпыланбайтынын зерттейді.
Аналитикалық және коаналитикалық жиынтықтар
Борль жиынтықтарының күрделілігінен кейін аналитикалық жиынтықтар мен коаналитикалық жиынтықтар келеді. Польша кеңістігі X-тің ішкі жиыны, егер ол басқа Польша кеңістігінің Борль ішкі жиынының үздіксіз бейнесі болса, аналитикалық деп аталады. Борль жиынының кез келген үздіксіз кері бейнесі Борль болғанымен, барлық аналитикалық жиынтықтар Борль жиынтықтары емес. Жинақ, егер оның толықтыруы аналитикалық болса, коаналитикалық болып табылады.
Жобалық жиынтықтар және Уодж градустары
Көптеген сұрақтар сипаттамалық жиын теориясында жиын теориялық қарастыруларға және ординалдық және кардиналдық сандардың қасиеттеріне байланысты. Бұл құбылыс, әсіресе, проективті жиынтықтарда айқын көрінеді. Олар поляк кеңістігіндегі проективті иерархия арқылы анықталады: Жинақ, егер ол аналитикалық болса, деп жарияланады. Жинақ коаналитикалық болса, сондай аталды. A жиынтығы проективті болады, егер A, B жиынтығының бірінші координатына проекциясы болатын B жиынтығының кіші жиынтығы болса. A жиынтығы проективті болады, егер A, B жиынтығының бірінші координатына проекциясы болатын B жиынтығының кіші жиынтығы болса. Жинақ, егер ол екеуі де проективті және копроективті болса, сондай аталды. Борел иерархиясындағыдай, әр n үшін кез келген проективті жиын екеуі де проективті және копроективті болады. Проективті жиынтықтардың қасиеттері ZFC аксиомаларымен толық анықталмайды. V = L болжамы бойынша, барлық проективті жиынтықтар толық жиын қасиетіне немесе Бейр қасиетіне ие болмайды. Алайда, проективті анықталуды болжамдау бойынша, барлық проективті жиынтықтар толық жиын қасиетіне де, Бейр қасиетіне де ие болады. Бұл ZFC аксиомалары Борел анықталуын дәлелдейді, бірақ проективті анықталуды дәлелдей алмайды. Сондай-ақ, кез келген табиғи сан үшін, онда жарық жиынтықтардың барлық кіші жиынтықтарынан тұратын кеңейтулер бар. Жалпы алғанда, поляк кеңістігі X-тің элементтері жиынтығының барлық жиынтығы эквиваленттік сыныптарға топтастырылуы мүмкін, олар Уодж дәрежелері деп аталады және проективті иерархияны жалпылайды. Бұл дәрежелер Уодж иерархиясында реттелген. Анықталу аксиомасы кез келген поляк кеңістігіндегі Уодж иерархиясы жақсы негізделген және ұзындығы Θ-ға тең екенін, ал құрылымы проективті иерархияны кеңейтетінін білдіреді.
A set is declared to be if it is analytic. A set is if it is coanalytic. A set A is if there is a subset B of such that A is the projection of B to the first coordinate. A set A is if there is a subset B of such that A is the projection of B to the first coordinate. A set is if it is both and
As with the Borel hierarchy, for each n, any set is both and
The properties of the projective sets are not completely determined by ZFC. Under the assumption V = L, not all projective sets have the perfect set property or the property of Baire. However, under the assumption of projective determinacy, all projective sets have both the perfect set property and the property of Baire. This is related to the fact that ZFC proves Borel determinacy, but not projective determinacy. There are also generic extensions of for any natural number in which consists of all the lightface subsets of
More generally, the entire collection of sets of elements of a Polish space X can be grouped into equivalence classes, known as Wadge degrees, that generalize the projective hierarchy. These degrees are ordered in the Wadge hierarchy. The axiom of determinacy implies that the Wadge hierarchy on any Polish space is well founded and of length Θ, with structure extending the projective hierarchy.
Борел эквиваленттік қатынастары
Дескриптивті жиынтықтар теориясының қазіргі заманғы зерттеу саласы Борел эквиваленттік қатынастарын зерттейді. Польша кеңістігі X-тегі Борел эквиваленттік қатынасы – X кеңістігінде эквиваленттік қатынас болатын Борелдің кіші жиыны.
Тиімді сипаттамалық жиынтық теориясы
Тиімді сипаттамалық жиын теориясының саласы сипаттамалық жиын теориясының әдістерін жалпыланған рекурсия теориясымен (әсіресе гиперарифметикалық теориямен) үйлестіреді. Ол ерекше классикалық сипаттамалық жиын теориясының иерархияларының «жеңіл» аналогтарына назар аударады. Сондықтан Борел иерархиясының орнына гиперарифметикалық иерархия, ал проективтік иерархияның орнына аналитикалық иерархия зерттеледі. Бұл зерттеулер жиын теориясының әлсіз нұсқаларымен, мысалы, Крипке-Платек жиын теориясы және екінші реттік арифметикамен байланысты.