Введение
В математической логике описательная теория множеств (DST) — это изучение определенных классов "хорошо себя ведущих" подмножеств вещественной прямой и других польских пространств. Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теории множеств, она находит применение в других областях математики, таких как функциональный анализ, эргодическая теория, изучение операторных алгебр и действий групп, а также в самой математической логике.
In mathematical logic, descriptive set theory (DST) is the study of certain classes of "well behaved" subsets of the real line and other Polish spaces. As well as being one of the primary areas of research in set theory, it has applications to other areas of mathematics such as functional analysis, ergodic theory, the study of operator algebras and group actions, and mathematical logic.
Польские пространства
Теория описательных множеств начинается с изучения польских пространств и их множеств Бореля. Польское пространство — это второе счётное топологическое пространство, метризуемое с помощью полной метрики. Интуитивно, это полное разделимое метрическое пространство, метрика в котором "забыта". Примеры включают в себя вещественную прямую, пространство Бейра, пространство Кантора и куб Гильберта.
Свойства универсальности
Класс польских пространств обладает рядом свойств универсальности, которые показывают, что рассмотрение польских пространств определенных ограниченных форм не приводит к потере общности. Каждое польское пространство гомеоморфно подпространству Gδ в кубе Гильберта, и каждое подпространство Gδ в кубе Гильберта является польским. Каждое польское пространство можно получить как непрерывное отображение пространства Байра; более того, каждое польское пространство является образом непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Байра. Аналогично, каждое компактное польское пространство является непрерывным образом пространства Кантора. Благодаря этим свойствам универсальности, а также тому, что пространство Байра обладает удобным свойством гомеоморфности к , многие результаты в описательной теории множеств доказываются исключительно в контексте пространства Байра.
Борельские наборы
Класс борелевских множеств топологического пространства X состоит из всех множеств в наименьшей σ-алгебре, содержащей открытые множества X. Это означает, что борелевские множества X – это наименьшее семейство множеств, обладающее следующими свойствами: любое открытое подмножество X является борелевским множеством. Если A – борелевское множество, то и его дополнение также является борелевским множеством. То есть, класс борелевских множеств замкнут относительно дополнений. Если Aₙ – борелевское множество для каждого натурального числа n, то объединение является борелевским множеством. То есть, борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений. Фундаментальный результат показывает, что любые два неисчислимых польских пространства X и Y борелевски изоморфны: существует биекция из X в Y, такая что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества также является борелевским. Это дает дополнительное обоснование практике сосредоточения внимания на пространстве Байра и пространстве Кантора, поскольку эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.
Every open subset of X is a Borel set. If A is a Borel set, so is That is, the class of Borel sets are closed under complementation. If An is a Borel set for each natural number n, then the union is a Borel set. That is, the Borel sets are closed under countable unions. A fundamental result shows that any two uncountable Polish spaces X and Y are Borel isomorphic: there is a bijection from X to Y such that the preimage of any Borel set is Borel, and the image of any Borel set is Borel. This gives additional justification to the practice of restricting attention to Baire space and Cantor space, since these and any other Polish spaces are all isomorphic at the level of Borel sets.
Борельская иерархия
Каждое борелевское множество польского пространства классифицируется в иерархии Бореля в зависимости от того, сколько раз необходимо применить операции счетного объединения и взятия дополнения, чтобы получить это множество, начиная с открытых множеств. Классификация осуществляется с помощью счетных ординальных чисел. Для каждого ненулевого счетного ординала α существуют классы , , и . Каждое открытое множество объявляется множеством . Множество объявляется множеством , если и только если его дополнение является множеством . Множество A объявляется множеством , δ > 1, если существует последовательность 〈 Ai 〉 множеств, каждое из которых является множеством для некоторого λ(i) < δ, такая что . Множество является множеством , если и только если оно является одновременно множеством и множеством . Теорема показывает, что любое множество, являющееся или , является , а любое множество является одновременно и для всех α > β. Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают на включение.
Every open set is declared to be A set is declared to be if and only if its complement is A set A is declared to be , δ > 1, if there is a sequence 〈 Ai 〉 of sets, each of which is for some λ(i) < δ, such that A set is if and only if it is both and
A theorem shows that any set that is or is , and any set is both and for all α > β. Thus the hierarchy has the following structure, where arrows indicate inclusion.
Свойства регулярности множеств Бореля
Классическая теория описательных множеств включает изучение свойств регулярности множеств Бореля. Например, все множества Бореля польского пространства обладают свойством Байра и свойством совершенства. Современная теория описательных множеств изучает, как эти результаты обобщаются или не обобщаются на другие классы подмножеств польских пространств.
Аналитические и коаналитические наборы
Непосредственно за борелевскими множествами по сложности следуют аналитические множества и коаналитические множества. Подмножество польского пространства X называется аналитическим, если оно является непрерывным образом борелевского подмножества некоторого другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими. Множество называется коаналитическим, если его дополнение является аналитическим.
Проективные наборы и степени Удга
Многие вопросы в описательной теории множеств в конечном счете зависят от теоретико-множественных соображений и свойств порядковых и кардинальных чисел. Это явление особенно заметно в проективных множествах. Они определяются посредством проективной иерархии на польском пространстве X: множество объявляется аналитическим. Множество называется коаналитическим. Множество A является проективным, если существует подмножество B такого, что A является проекцией B на первую координату. Множество A является проективным, если существует подмножество B такого, что A является проекцией B на первую координату. Множество является проективным, если оно одновременно аналитическое и коаналитическое. Как и в борелевской иерархии, для каждого n любое проективное множество является и аналитическим, и коаналитическим. Свойства проективных множеств не полностью определяются ZFC. При предположении V = L не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бейра. Однако, при предположении проективной детерминированности, все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бейра. Это связано с тем, что ZFC доказывает детерминированность борелевских множеств, но не проективных. Существуют также расширения модели ZFC для любого натурального числа n, в которых состоит из всех подмножеств в шрифте normal. В более общем смысле, вся совокупность множеств элементов польского пространства X может быть сгруппирована в классы эквивалентности, известные как степени Уоджа, которые обобщают проективную иерархию. Эти степени упорядочены в иерархии Уаджа. Аксиома детерминированности влечет за собой, что иерархия Уоджа на любом польском пространстве хорошо обоснована и имеет длину Θ, со структурой, расширяющей проективную иерархию.
A set is declared to be if it is analytic. A set is if it is coanalytic. A set A is if there is a subset B of such that A is the projection of B to the first coordinate. A set A is if there is a subset B of such that A is the projection of B to the first coordinate. A set is if it is both and
As with the Borel hierarchy, for each n, any set is both and
The properties of the projective sets are not completely determined by ZFC. Under the assumption V = L, not all projective sets have the perfect set property or the property of Baire. However, under the assumption of projective determinacy, all projective sets have both the perfect set property and the property of Baire. This is related to the fact that ZFC proves Borel determinacy, but not projective determinacy. There are also generic extensions of for any natural number in which consists of all the lightface subsets of
More generally, the entire collection of sets of elements of a Polish space X can be grouped into equivalence classes, known as Wadge degrees, that generalize the projective hierarchy. These degrees are ordered in the Wadge hierarchy. The axiom of determinacy implies that the Wadge hierarchy on any Polish space is well founded and of length Θ, with structure extending the projective hierarchy.
Отношения эквивалентности Бореля
Современная область исследований в описательной теории множеств изучает отношения эквивалентности Бореля. Отношение эквивалентности Бореля на польском пространстве X — это борелевское подмножество X, являющееся отношением эквивалентности на X.
Эффективная описательная теория множеств
Область эффективной описательной теории множеств сочетает методы описательной теории множеств с методами обобщенной теории рекурсии (особенно гиперарифметической теории). В частности, она фокусируется на "lightface" аналогах иерархий классической описательной теории множеств. Таким образом, изучается гиперарифметическая иерархия вместо борелевской иерархии, а аналитическая иерархия вместо проективной иерархии. Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как теория множеств Крипке–Платека и арифметика второго порядка.