Кіріспе
Келесі сан алдыңғы екеуінің қосындысы болатын шексіз бүтін сандар тізбегі. Лукас тізбегі – бұл математик Франсуа Эдуард Анатоль Лукастың (1842–1891) есімімен аталатын бүтін сандар тізбегі, ол осы тізбекті де, оған тығыз байланысты Фибоначчи тізбегін де зерттеген. Лукас тізбегіндегі жеке сандар Лукас сандары деп аталады. Лукас сандары мен Фибоначчи сандары Лукас тізбектерінің толыққанды мысалдары болып табылады. Лукас тізбегі Фибоначчи тізбегі сияқты рекурсивті қатынасқа ие, онда әрбір мүше алдыңғы екі мүшенің қосындысы болып табылады, бірақ бастапқы мәндері әртүрлі. Бұл мүшелердің қатынасы алтын қатынасқа жақындасатын тізбекті құрайды, ал мүшелердің өзі алтын қатынастың бүтін дәрежелерінің дөңгелектелген мәндері болып табылады. Тізбек Фибоначчи сандарымен де байланысты, мысалы, Фибоначчи тізбегіндегі екі Фибоначчи санын екі қадаммен алыс қосса, арасындағы Лукас саны шығады. Бірінші бірнеше Лукас сандары: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349. Мысалы, 2022 жылға дейін циклдік графтардың ұзындығы үшін тәуелсіз төбелік жиынтықтар санымен сәйкес келеді. Ең үлкен белгілі Лукас жай саны L5466311 болып табылады, онда 1,142,392 ондық таңба бар. Егер Ln жай сан болса, онда n 0, жай сан немесе 2-нің дәрежесі болады. L2m, m = 1, 2, 3 және 4 үшін жай сан болады және m-нің басқа белгілі мәндері жоқ.
The Lucas sequence is an integer sequence named after the mathematician François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), who studied both that sequence and the closely related Fibonacci sequence. Individual numbers in the Lucas sequence are known as Lucas numbers. Lucas numbers and Fibonacci numbers form complementary instances of Lucas sequences. The Lucas sequence has the same recursive relationship as the Fibonacci sequence, where each term is the sum of the two previous terms, but with different starting values. This produces a sequence where the ratios of successive terms approach the golden ratio, and in fact the terms themselves are roundings of integer powers of the golden ratio. The sequence also has a variety of relationships with the Fibonacci numbers, like the fact that adding any two Fibonacci numbers two terms apart in the Fibonacci sequence results in the Lucas number in between. The first few Lucas numbers are
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,
which coincides for example with the number of independent vertex sets for cyclic graphs of length as of 2022, the largest known Lucas probable prime is L5466311, with 1,142,392 decimal digits. If Ln is prime then n is 0, prime, or a power of 2. L2m is prime for m = 1, 2, 3, and 4 and no other known values of m.
Лукастың көптіктері
Фибоначчи полиномдары Фибоначчи сандарынан туындайтындай, Лукас полиномдары да Лукас сандарынан туындайтын полином тізбегі болып табылады.
Қолданбалар
2016 жылы 657 күнбағысты талдау нәтижесінде, сағат тілімен және сағат тіліне қарсы спиральдар саналғанда, күнбағыстарда Фибоначчи сандарынан кейін екінші жиі кездесетін үлгі Лукас сандары екені анықталды.