Введение
Бесконечные целочисленные ряды, где следующее число является суммой двух предшествующих. Последовательность Лукаса — целочисленная последовательность, названная в честь математика Франсуа Эдуарда Анатоля Лукаса (1842–1891), который изучал как эту последовательность, так и тесно связанную последовательность Фибоначчи. Отдельные числа в последовательности Лукаса известны как числа Лукаса. Числа Лукаса и числа Фибоначчи представляют собой дополнительные примеры последовательностей Лукаса. Последовательность Лукаса имеет такое же рекурсивное соотношение, как и последовательность Фибоначчи, где каждый член является суммой двух предыдущих членов, но с различными начальными значениями. Это приводит к последовательности, в которой отношение последовательных членов приближается к золотому сечению, и сами члены фактически являются округлениями целых степеней золотого сечения. Последовательность также имеет различные связи с числами Фибоначчи, например, тот факт, что сложение любых двух чисел Фибоначчи, отстоящих друг от друга на два члена в последовательности Фибоначчи, дает число Лукаса, находящееся между ними. Первые несколько чисел Лукаса: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, что совпадает, например, с количеством независимых множеств вершин для циклических графов заданной длины по состоянию на 2022 год. Самое большое известное вероятное простое число Лукаса — L5466311, состоящее из 1 142 392 десятичных цифр. Если Ln является простым числом, то n равно 0, простому числу или степени 2. L2m является простым для m = 1, 2, 3 и 4, и для других известных значений m это не подтверждено.
The Lucas sequence is an integer sequence named after the mathematician François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), who studied both that sequence and the closely related Fibonacci sequence. Individual numbers in the Lucas sequence are known as Lucas numbers. Lucas numbers and Fibonacci numbers form complementary instances of Lucas sequences. The Lucas sequence has the same recursive relationship as the Fibonacci sequence, where each term is the sum of the two previous terms, but with different starting values. This produces a sequence where the ratios of successive terms approach the golden ratio, and in fact the terms themselves are roundings of integer powers of the golden ratio. The sequence also has a variety of relationships with the Fibonacci numbers, like the fact that adding any two Fibonacci numbers two terms apart in the Fibonacci sequence results in the Lucas number in between. The first few Lucas numbers are
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,
which coincides for example with the number of independent vertex sets for cyclic graphs of length as of 2022, the largest known Lucas probable prime is L5466311, with 1,142,392 decimal digits. If Ln is prime then n is 0, prime, or a power of 2. L2m is prime for m = 1, 2, 3, and 4 and no other known values of m.
Полиномы Лукаса
Точно так же, как многочлены Фибоначчи выводятся из чисел Фибоначчи, многочлены Лукаса — это последовательность многочленов, выведенных из чисел Лукаса.
Приложения
Числа Лукаса — второй по распространенности узор в подсолнечниках после чисел Фибоначчи, если считать спирали, направленные по часовой стрелке и против часовой стрелки. К такому выводу пришел анализ 657 подсолнечников, проведенный в 2016 году.