Кіріспе

Математикада, құрылым тобы (топологиялық топ) бар талшық бундельдерінің теориясы, байланысты бундель құру мүмкіндігін береді, онда бундельдің типтік талшығы G-ге қатысты топтық әрекеті бар F-тен G-ге қатысты топтық әрекеті бар кеңістікке өзгереді. G құрылымдық тобы бар F талшық бундельі үшін, екі координаттық жүйе Uα және Uβ арасындағы жабысудағы талшықтың (яғни коциклдің) өту функциялары Uα∩Uβ жиынында G-ге бағаланған gαβ функциясы ретінде беріледі. Осыдан кейін, F′ талшық бундельін сол өту функцияларымен, бірақ мүмкін басқа талшықпен жаңа талшық бундельі ретінде құруға болады.

Мысал

Қарапайым мысал Мёбиус жолағы арқылы келтіріледі, онда топ 2-ретті циклдік топ болып табылады. Біз оны нақты сандар түзуі, аралық, 0 нүктесінен басқа нақты сандар түзуі немесе екі нүктелі жиынтық ретінде қарастыра аламыз. Бұл топтың әрекеті (бейтарап емес элемент әрбір жағдайда -1 ретінде әрекет етеді) интуитивті мағынада салыстырылады. Бұл екі тікбұрыш және тікелей біріктіру арқылы формалдырақ айтуға болады: маңыздысы, бір жағынан өзіне-өзі сәйкестік, ал екінші жағынан бұрылыс болуы керек. Бұл деректерді G-дегі мәндері бар жамау функциясы түрінде жазуға болады. Сәйкес жиынтық құрылымы – бұл деректердің және үшін де жақсы жұмыс істейтінін көрсету.

Құрылыс

Жалпы, талшығында әрекет ететін бумблден байланысты негізгі бумблге (яғни, талшығы өз ішінен трансляция арқылы әрекет ететін бумблге) өтуді түсіндіру жеткілікті. Содан кейін біз негізгі бумбл арқылы , , арқылы өтуге боламыз. Ашық жабынға қатысты деректерге толық мәліметтер төмен түсу жағдайы ретінде келтіріледі. Бұл бөлім былай ұйымдастырылған. Біріншіден, берілген талшықты бумблден белгілі бір талшықты байланысты бумблді жасаудың жалпы процедурасын қарастырамыз. Бұл, егер көрсетілген талшық топтың сол жақтан әрекеті үшін негізгі біртекті кеңістік болса, байланысты негізгі бумблге әкеледі. Егер, қосымша, негізгі бумблдің талшығында оң жақтан әрекет берілсе, біз талшықтың көбейту құрылысын пайдаланып кез келген байланысты бумблді қалай құрастыруға болатынын сипаттаймыз.

Жалпы байланысты пакеттер

G құрылым тобы және типтік F талшығы бар X топологиялық кеңістікте талшық бумасы болсын. Анықтама бойынша, F талшығында G-нің сол жақ әрекеті (өзгерту тобы ретінде) бар. Бұдан әрі, бұл әрекет тиімді деп есептейік. E бумасын ашық қаптама Ui X-тен тұратын жергілікті қарапайымдау және талшықты карталар жиынтығы бар, сондықтан өтпелі карталар G элементтерімен беріледі. Нақтырақ айтқанда, жалғасты функциялар бар gij : (Ui ∩ Uj) → G мұндай.

Енді F′ көрсетілген топологиялық кеңістік болсын, ол G-нің үздіксіз сол жақ әрекетімен жабдықталған. Содан кейін E-мен байланысты F′ талшықтық бумасы Ui қаптамасына бағынышты жергілікті қарапайымдаумен E′ бумасы болады, оның өтпелі функциялары берілген, мұнда G-ге бағаланған функциялар gij(u) бастапқы E бумасының жергілікті қарапайымдауынан алынғандармен бірдей. Бұл анықтама өтпелі функциялар бойынша коцикл шартын анық сақтайды, өйткені әр жағдайда олар G-ге бағаланған функциялардың бірдей жүйесімен беріледі. (Басқа жергілікті қарапайымдауды пайдаланып, қажет болса, ортақ тазартуға өту арқылы, gij бірдей шекара арқылы өзгереді.) Осылайша, талшық буындысы құрылысының теоремасы бойынша, бұл F′ талшықтық бумасы E′ құрылады, деп жорамалданады.

Түйінді талшықты түйінмен байланысты негізгі түйін

Бұрынғыдай, E – құрылым тобы G болатын талшықтық түйін деп есептейік. Егер G, F′-ге еркін және транзитивті сол жақтан әрекет етсе, яғни F′ – G-нің сол жақтан әрекеті үшін негізгі біртекті кеңістік болса, онда байланысты түйін E′ – талшықтық түйінмен байланысты негізгі G түйіні деп аталады. Сонымен қатар, егер жаңа талшық F′ G-мен сәйкестендірілсе (сол арқылы F′ G-нің оң жақтан әрекетін де мұралайды), онда G-нің F′-ге оң жақтан әрекеті G-нің E′-ге оң жақтан әрекетін тудырады. Осы сәйкестендіруді таңдағанда, E′ – әдеттегі мағынадағы негізгі бундельге айналады. G үшін негізгі біртекті кеңістікте оң әрекетті анықтаудың канондық тәсілі болмаса да, кез келген екі мұндай әрекет G құрылымдық тобымен бірдей негізгі талшықтық түйінді береді (өйткені бұл G-нің сол жақтан әрекетінен туындайды) және G кеңістіктері ретінде изоморфты болады, яғни оларды байланыстыратын бундельдің G-эквивариантты изоморфизмі бар. Сондықтан, оң әрекетпен жабдықталған негізгі G бунделин көбінесе құрылым тобы G болатын талшықтық түйінді анықтау үшін қажетті деректердің бір бөлігі деп қарастырады, себебі талшықтық түйінден байланысты бундель құрылымы арқылы негізгі бундельді құруға болады. Ал кейін, келесі бөлімде көрсетілгендей, керісінше, талшықтық өнімді пайдаланып кез келген талшықтық түйінді алуға болады.

Құрылымдық топты қысқарту

Қатысқан бундельдерге байланысты түсінік – бундельдің құрылым тобының қысқартылуы. Біз, байланысты бундель изоморфизмге дейін , деген бундельдің болатынын сұраймыз. Нақтырақ айтқанда, бұл, -нің ауысу деректерін мәндерімен тұрақты түрде жазуға бола ма деген сұрақ тудырады. Басқаша айтқанда, байланысты бундельдік бейнелеудің (шындығында функтор) кескінін анықтауды сұраймыз.

Кішірейтудің мысалдары

Векторлық бундельдерге мысалдар: метриканы енгізу арқылы құрылым тобының жалпы сызықтық топтан GL(n) ортогональды топқа O(n) дейін қысқаруы; сондай-ақ, нақты бундельдегі комплекс құрылымның болуы, нәтижесінде құрылым тобының нақты жалпы сызықтық топтан GL(2n,R) комплекс жалпы сызықтық топқа GL(n,C) дейін қысқаруы. Тағы бір маңызды жағдай – n ранкті V векторлық бундельін k және n-k ранкті кіші бундельдердің Уитни қосындысы (тікелей қосындысы) ретінде ыдырату, нәтижесінде құрылым тобы GL(n,R) -дан GL(k,R) × GL(n-k,R) -ға дейін азаяды. Фолиацияның шартын тангенс бундельін блок матрицалық кіші топқа қысқару ретінде беруге болады, бірақ мұндағы қысқару тек қажетті шарт, ал Фробень теоремасын қолдану үшін интегралдану шарты да қажет.