Введение

В математике теория волокнистых расслоений со структурной группой (топологической группой) позволяет создавать ассоциированное расслоение, в котором типичное волокно расслоения изменяется от до , которые являются топологическими пространствами с групповым действием . Для волокнистого расслоения F со структурной группой G, переходные функции волокна (то есть коцикл) в пересечении двух систем координат Uα и Uβ задаются как G-значная функция gαβ на Uα∩Uβ. Затем можно построить волокнистое расслоение F′ как новое расслоение, имеющее те же переходные функции, но, возможно, другое волокно.

Пример

Простой пример демонстрирует полоса Мёбиуса, для которой группа циклическая группы порядка 2. В качестве можно взять любую из следующих возможностей: вещественная числовая прямая, интервал, вещественная числовая прямая без точки 0 или множество из двух точек. Действие на них (неединичный элемент действует как в каждом случае) сопоставимо в интуитивном смысле. Можно более формально выразить это в терминах склеивания двух прямоугольников и вместе: нам действительно нужны данные для отождествления одного конца с самим собой, а другого – с поворотом. Эти данные можно записать в виде функции склейки со значениями в G. Связанная конструкция расслоения заключается в том, что эти данные работают одинаково хорошо для как и для .

Строительство

В общем случае достаточно объяснить переход от расслоения с волокном, на котором действует, к ассоциированному главному расслоению (а именно, к расслоению, в котором волокно рассматривается как действующее на себя посредством сдвига). Тогда можно перейти от к , используя главное расслоение. Детали, касающиеся данных для открытого покрытия, приводятся как частный случай спуска. Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы вводим общую процедуру построения ассоциированного расслоения с заданным волокном из данного расслоения с волокном. Затем мы рассматриваем частный случай, когда заданное волокно является главным однородным пространством для левого действия группы на себя, что приводит к ассоциированному главному расслоению. Если, кроме того, задано правое действие на волокне главного расслоения, мы опишем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью построения произведения волокон.

Связанные пакеты в целом

Пусть E – расслоение над топологическим пространством X со структурной группой G и типичным волокном F. По определению, существует левое действие G (как группы преобразований) на волокно F. Предположим, что это действие эффективно. Существует локальная тривиализация расслоения E, состоящая из открытого покрытия Ui пространства X и семейства отображений на волокнах, таких что переходные отображения задаются элементами G. Точнее, существуют непрерывные функции gij : (Ui ∩ Uj) → G, такие что

Теперь пусть F′ – заданное топологическое пространство, снабженное непрерывным левым действием G. Тогда расслоение, ассоциированное с E и имеющее волокно F′, является расслоением E′ с локальной тривиализацией, подчиненной покрытию Ui, переходные функции которого задаются где G-значные функции gij(u) такие же, как и те, которые получены из локальной тривиализации исходного расслоения E. Это определение явно удовлетворяет условию коцикла для переходных функций, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой G-значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и переходя к общему уточнению, если это необходимо, gij преобразуются посредством той же кограницы.) Следовательно, согласно теореме построения расслоений, получается расслоение E′ с волокном F′, как и утверждалось.

Основная связка, связанная с волокнистой связкой

Как и ранее, предположим, что E — расслоение с группой структурных преобразований G. В частном случае, когда G имеет свободное и транзитивное левое действие на F′, так что F′ является главным однородным пространством для левого действия G на себя, то ассоциированное расслоение E′ называется главным G-расслоением, ассоциированным с расслоением E. Если, кроме того, новое волокно F′ отождествляется с G (так что F′ наследует как левое, так и правое действия G), то правое действие G на F′ индуцирует правое действие G на E′. При таком выборе отождествления E′ становится главным расслоением в обычном смысле. Следует отметить, что, хотя не существует канонического способа задать правое действие на главном однородном пространстве для G, любые два таких действия порождают главные расслоения, имеющие одно и то же базовое расслоение со структурной группой G (поскольку оно определяется левым действием G), и изоморфные как G-пространства в том смысле, что существует G-эквивариантный изоморфизм расслоений, связывающий их. Таким образом, главное G-расслоение, снабженное правым действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение со структурной группой G, поскольку из расслоения можно построить главное расслоение с помощью конструкции ассоциированного расслоения. Далее, как будет показано в следующем разделе, можно поступить и обратным образом, и получить любое расслоение, используя волокнистое произведение.

Сокращение структурной группы

Сопутствующей концепцией к ассоциированным расслоениям является редукция структурной группы расслоения. Мы спрашиваем, существует ли расслоение, такое, что ассоциированное расслоение является , с точностью до изоморфизма. Более конкретно, это вопрос о том, можно ли согласованно записать переходные данные для с значениями в . Иными словами, мы хотим определить образ отображения ассоциированного расслоения (которое фактически является функтором).

Примеры сокращения

Примеры векторных расслоений включают в себя: введение метрики, приводящее к редукции группы структуры от общей линейной группы GL(n) до ортогональной группы O(n); и существование комплексной структуры на вещественном расслоении, приводящее к редукции группы структуры от вещественной общей линейной группы GL(2n,R) до комплексной общей линейной группы GL(n,C). Другой важный случай – нахождение разложения векторного расслоения V ранга n в прямую сумму подрасслоений ранга k и n-k, что приводит к редукции группы структуры от GL(n,R) до GL(k,R) × GL(n-k,R). Также можно выразить условие определения фолиации как редукции касательного расслоения к блочно-матричной подгруппе, однако здесь редукция является лишь необходимым условием, существует условие интегрируемости, чтобы применялась теорема Фробениуса.