Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриядағы мәселе
Problem in geometry
Геометрияда, шеңберді n қабырғалы ішкі көпбұрыш арқылы аудандарға бөлу мәселесі, оның қабырғалары мен диагональдарымен құрылған аудандар санын барынша арттыру мақсатында, кейде Мозердің шеңбер мәселесі деп аталады, индуктивті әдіспен шешіледі. Ең көп мүмкін болатын аймақтар саны, 1=rG =, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256 тізбегін құрайды. Алғашқы бес мүше 1=2n − 1 геометриялық прогрессиясына сәйкес келсе де, n=6 болғанда бұл үлгі бұзылады, бұл тек бірнеше байқауға сүйене отырып жалпылаудың қаупін көрсетеді.
In geometry, the problem of dividing a circle into areas by means of an inscribed polygon with n sides in such a way as to maximise the number of areas created by the edges and diagonals, sometimes called Moser's circle problem, has a solution by an inductive method. The greatest possible number of regions, 1=rG = , giving the sequence 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, Though the first five terms match the geometric progression 1=2n − 1, it deviates at 1=n = 6, showing the risk of generalising from only a few observations.
Лемма
Егер шеңберде n нүкте болса және тағы бір нүкте қосылса, жаңа нүктеден бұрынғы нүктелерге n сызық жүргізуге болады. Екі жағдай мүмкін. Бірінші жағдайда (а) жаңа сызық екі немесе одан көп ескі сызықтардың (бұрынғы нүктелер арасындағы) қиылысқан нүктесі арқылы өтеді. Екінші жағдайда (b) жаңа сызық әрбір ескі сызықты әртүрлі нүктеде қиып өтеді. Келесі фактіні білу пайдалы. Лемма. Жаңа А нүктесін осылай таңдауға болады, әр жаңа сызық үшін b жағдайы орын алады. Дәлелдеме. А жағдайы үшін үш нүкте бір түзудің бойында болуы керек: жаңа А нүктесі, сызық жүргізілген бұрынғы О нүктесі және екі ескі сызықтың қиылысқан нүктесі I. n ескі О нүктесі бар, демек ескі сызықтардың екеуі қиылысатын I нүктелерінің саны шекті. Әр О және I үшін OI сызығы О нүктесінен басқа шеңберді бір нүктеде кесіп өтеді. Шеңберде шексіз көп нүктелер болғандықтан, онда OI сызықтарының ешқайсысында да жатпайтын А нүктесі табылады. Осы А нүктесі үшін және барлық ескі О нүктелері үшін b жағдайы орындалады. Бұл лемма мынаны білдіреді: егер АО сызығын k сызық кесіп өтсе, олардың әрқайсысы АО сызығын әртүрлі нүктеде кесіп өтеді және АО сызығы k + 1 жаңа аймаққа бөледі.
If there are n points on the circle and one more point is added, n lines can be drawn from the new point to previously existing points. Two cases are possible. In the first case (a), the new line passes through a point where two or more old lines (between previously existing points) cross. In the second case (b), the new line crosses each of the old lines in a different point. It will be useful to know the following fact. Lemma. The new point A can be chosen so that case b occurs for each of the new lines. Proof. For the case a, three points must be on one line: the new point A, the old point O to which the line is drawn, and the point I where two of the old lines intersect. There are n old points O, and hence finitely many points I where two of the old lines intersect. For each O and I, the line OI crosses the circle in one point other than O. Since the circle has infinitely many points, it has a point A which will be on none of the lines OI. Then, for this point A and all of the old points O, case b will be true. This lemma means that, if there are k lines crossing AO, then each of them crosses AO at a different point and k + 1 new areas are created by the line AO.
Математикалық бильярдтың шеңбер ішіндегі қолданылуы
Дөңгелек ішіндегі күш әсері жоқ бөлшектің қозғалысын қарастыра отырып, Д. Жауд көрсеткендей, дөңгелек шекарасындағы нақты шағылысу бұрыштары үшін байланысты аудандарды бөлу тізбегі арифметикалық прогрессиямен беріледі.
Considering the force free motion of a particle inside a circle it was shown (see D. Jaud) that for specific reflection angles along the circle boundary the associated area division sequence is given by an arithmetic series.