Разделение круга на области вписанным многоугольником: задача Мозера и её решение.
Dividing a circle into areas
Разделение круга на области многоугольником: задача Мозера, индуктивный метод решения, формула для макс. числа областей и опасность обобщений. Геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Проблема в геометрии
Problem in geometry
В геометрии задача деления круга на области с помощью вписанного многоугольника с n сторонами таким образом, чтобы максимизировать число областей, образованных сторонами и диагоналями, иногда называемая круговой проблемой Мозера, имеет решение, основанное на методе индукции. Наибольшее возможное число областей, 1=rG = , дает последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256. Хотя первые пять членов соответствуют геометрической прогрессии 1=2n − 1, начиная с n = 6, она отклоняется от этой прогрессии, что демонстрирует опасность обобщения на основе лишь нескольких наблюдений.
In geometry, the problem of dividing a circle into areas by means of an inscribed polygon with n sides in such a way as to maximise the number of areas created by the edges and diagonals, sometimes called Moser's circle problem, has a solution by an inductive method. The greatest possible number of regions, 1=rG = , giving the sequence 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, Though the first five terms match the geometric progression 1=2n − 1, it deviates at 1=n = 6, showing the risk of generalising from only a few observations.
Лемма
Если на окружности есть n точек и добавляется еще одна точка, можно провести n линий от новой точки к ранее существующим точкам. Возможны два случая. В первом случае (a) новая линия проходит через точку, в которой пересекаются две или более старых линий (между ранее существовавшими точками). Во втором случае (b) новая линия пересекает каждую из старых линий в различной точке. Важно знать следующий факт. Лемма. Новую точку A можно выбрать так, чтобы для каждой из новых линий выполнялся случай b. Доказательство. Для случая a три точки должны лежать на одной прямой: новая точка A, старая точка O, к которой проведена линия, и точка I, в которой пересекаются две старые линии. Существует n старых точек O, и, следовательно, конечное число точек I, в которых пересекаются две старые линии. Для каждой пары O и I прямая OI пересекает окружность в одной точке, отличной от O. Поскольку окружность содержит бесконечно много точек, на ней существует точка A, не лежащая ни на одной из прямых OI. Тогда для этой точки A и всех старых точек O случай b будет выполняться. Эта лемма означает, что если существует k линий, пересекающих AO, то каждая из них пересекает AO в различной точке, и линия AO создает k + 1 новых областей.
If there are n points on the circle and one more point is added, n lines can be drawn from the new point to previously existing points. Two cases are possible. In the first case (a), the new line passes through a point where two or more old lines (between previously existing points) cross. In the second case (b), the new line crosses each of the old lines in a different point. It will be useful to know the following fact. Lemma. The new point A can be chosen so that case b occurs for each of the new lines. Proof. For the case a, three points must be on one line: the new point A, the old point O to which the line is drawn, and the point I where two of the old lines intersect. There are n old points O, and hence finitely many points I where two of the old lines intersect. For each O and I, the line OI crosses the circle in one point other than O. Since the circle has infinitely many points, it has a point A which will be on none of the lines OI. Then, for this point A and all of the old points O, case b will be true. This lemma means that, if there are k lines crossing AO, then each of them crosses AO at a different point and k + 1 new areas are created by the line AO.
Применение в математическом бильярде внутри круга
Рассматривая движение частицы внутри круга в отсутствие сил, было показано (см. Д. Жауд), что при определенных углах отражения от границы круга соответствующая последовательность разбиения площади описывается арифметической прогрессией.
Considering the force free motion of a particle inside a circle it was shown (see D. Jaud) that for specific reflection angles along the circle boundary the associated area division sequence is given by an arithmetic series.