Кіріспе
Категориялар теориясында, математиканың бір саласы, функторлық категория – объектілері функторлар, ал морфизмдері функторлар арасындағы табиғи түрлендірулер болатын категория (мұнда – категориядағы тағы бір объект). Функторлық категориялар екі негізгі себеппен қызығушылық тудырады: көптеген кең таралған категориялар (жасырынып) функторлық категориялар болып табылады, сондықтан жалпы функторлық категориялар үшін дәлелденген кез келген тұжырым кеңінен қолданылады; кез келген категория функторлық категорияға енгізіледі (Йонеда енгізуі арқылы); функторлық категория көбінесе бастапқы категорияға қарағанда жақсы қасиеттерге ие, бастапқы жағдайда қол жетімді болмаған белгілі бір амалдарды орындауға мүмкіндік береді.
many commonly occurring categories are (disguised) functor categories, so any statement proved for general functor categories is widely applicable;
every category embeds in a functor category (via the Yoneda embedding); the functor category often has nicer properties than the original category, allowing certain operations that were not available in the original setting.
Мысалдар
Егер кіші дискретті категория болса (яғни оның жалғыз морфизмдері сәйкестік морфизмдері болса), онда -тан -ға дейінгі функтор негізінен индексімен индекстелген объектілер отбасынан тұрады; функтор категориясы тиісті көбейту категориясымен сәйкес келеді: оның элементтері - -дағы объектілердің отбасылары және оның морфизмдері - -дағы морфизмдердің отбасылары. Жебе категориясы (оның объектілері - морфизмдері және оның морфизмдері - commuting squares) - бұл 2 екі объектісі және олардың сәйкестік морфизмдері бар категория, сондай-ақ бір объектіден екіншісіне жебе (бірақ кері бағытта басқа жебе жоқ). Бағытталған граф – жебелер және төбелер жиынтығынан, сондай-ақ жебелер жиынтығынан төбелер жиынтығына дейінгі екі функциядан тұрады, бұл әр жебенің бастапқы және соңғы төбесін анықтайды. Барлық бағытталған графтардың категориясы – дереккөз және мақсат (source and target) деп аталатын екі параллель морфизммен байланысты екі объектісі бар функтор категориясы, ал Set жиынтар категориясын білдіреді. Кез келген топты әрбір морфизмі инверттік болатын бір объектілі категория ретінде қарастыруға болады. Барлық жиындардың категориясы Set функтор категориясымен бірдей. Табиғи түрлендірулер – карталар. Жоғарыдағы мысалға ұқсас, топтың K-сызықтық өкілдіктерінің категориясы VectK функтор категориясымен бірдей (мұнда VectK – K өрісіндегі барлық векторлық кеңістіктердің категориясын білдіреді). Кез келген сақинаны бір объектілі преаддитивті категория ретінде қарастыруға болады; сақина үстіндегі сол жақ модульдердің категориясы – Add(,) аддитивті функтор категориясымен (мұнда – абельдік топтардың категориясын білдіреді), ал оң жақ модульдердің категориясы – Add(,). Осы мысалға байланысты, кез келген преаддитивті категория үшін Add((,) категориясы кейде «сақина үстіндегі сол жақ модульдердің категориясы» деп, ал Add((,) – «сақина үстіндегі оң жақ модульдердің категориясы» деп аталады. Топологиялық кеңістіктегі прешевтердің категориясы – функтор категориясы: топологиялық кеңістікті ашық жиындарды объектілер ретінде және бір морфизмді қамтитын категорияға айналдырамыз, егер және тек қана егер . -дағы жиындардың (абельдік топтар, сақиналар) прешевтерінің категориясы – -тан -ға дейінгі контравариантты функторлардың категориясымен (немесе , немесе ) бірдей. Осы мысалға байланысты, Funct((,)) категориясы кейде тіпті топологиялық кеңістікке негізделмеген жалпы категориялар үшін де «-дағы жиындардың прешевтерінің категориясы» деп аталады. Жалпы категориядағы шевтерді анықтау үшін қосымша құрылым қажет: Гротендик топологиясы (кейбір авторлар -ға эквивалентті категорияларды прешев категориялары деп атайды).
An arrow category (whose objects are the morphisms of , and whose morphisms are commuting squares in ) is just , where 2 is the category with two objects and their identity morphisms as well as an arrow from one object to the other (but not another arrow back the other way). A directed graph consists of a set of arrows and a set of vertices, and two functions from the arrow set to the vertex set, specifying each arrow's start and end vertex. The category of all directed graphs is thus nothing but the functor category , where is the category with two objects connected by two parallel morphisms (source and target), and Set denotes the category of sets. Any group can be considered as a one object category in which every morphism is invertible. The category of all sets is the same as the functor category Set. Natural transformations are maps. Similar to the previous example, the category of K linear representations of the group is the same as the functor category VectK (where VectK denotes the category of all vector spaces over the field K). Any ring can be considered as a one object preadditive category; the category of left modules over is the same as the additive functor category Add(,) (where denotes the category of abelian groups), and the category of right modules is Add(,). Because of this example, for any preadditive category , the category Add(,) is sometimes called the "category of left modules over " and Add(,) is the "category of right modules over ". The category of presheaves on a topological space is a functor category: we turn the topological space into a category having the open sets in as objects and a single morphism from to if and only if is contained in The category of presheaves of sets (abelian groups, rings) on is then the same as the category of contravariant functors from to (or or ). Because of this example, the category Funct(, ) is sometimes called the "category of presheaves of sets on " even for general categories not arising from a topological space. To define sheaves on a general category , one needs more structure: a Grothendieck topology on (Some authors refer to categories that are equivalent to as presheaf categories.)