Введение
В теории категорий, области математики, функторная категория — это категория, объекты которой являются функторами, а морфизмы — естественными преобразованиями между этими функторами (где C — другой объект в категории). Функторные категории представляют интерес по двум основным причинам: многие часто встречающиеся категории являются (замаскированными) функторными категориями, поэтому любое утверждение, доказанное для общих функторных категорий, широко применимо; любая категория может быть вложена в функторную категорию (через вложение Йонеды); функторная категория часто обладает более удобными свойствами, чем исходная категория, позволяя выполнять определенные операции, недоступные в исходной постановке.
many commonly occurring categories are (disguised) functor categories, so any statement proved for general functor categories is widely applicable;
every category embeds in a functor category (via the Yoneda embedding); the functor category often has nicer properties than the original category, allowing certain operations that were not available in the original setting.
Примеры
Если – небольшая дискретная категория (т.е. ее единственными морфизмами являются тождественные морфизмы), то функтор из в по существу состоит из семейства объектов , индексированных по ; категория функторов может быть отождествлена с соответствующей категорией произведения: ее элементы – это семейства объектов в , а ее морфизмы – это семейства морфизмов в . Категория стрелок (чьи объекты – морфизмы , а чьи морфизмы – коммутативные квадраты в ) является просто , где 2 – это категория с двумя объектами и их тождественными морфизмами, а также стрелка от одного объекта к другому (но не стрелка в обратном направлении). Направленный граф состоит из множества стрелок и множества вершин, а также двух функций из множества стрелок в множество вершин, определяющих начальную и конечную вершину каждой стрелки. Категория всех направленных графов, таким образом, является не чем иным, как категорией функторов , где – это категория с двумя объектами, соединенными двумя параллельными морфизмами (источник и цель), а Set обозначает категорию множеств. Любую группу можно рассматривать как категорию с одним объектом, в которой каждый морфизм обратим. Категория всех множеств совпадает с категорией функторов Set. Естественные преобразования – это карты. Подобно предыдущему примеру, категория K-линейных представлений группы совпадает с категорией функторов VectK (где VectK обозначает категорию всех векторных пространств над полем K). Любое кольцо можно рассматривать как однообъектную преаддитивную категорию; категория левых модулей над совпадает с аддитивной категорией функторов Add(,) (где обозначает категорию абелевых групп), а категория правых модулей – Add(,). В связи с этим примером, для любой преаддитивной категории , категория Add(,) иногда называется «категорией левых модулей над », а Add(,) – «категорией правых модулей над ». Категория предпучков на топологическом пространстве является функторной категорией: мы превращаем топологическое пространство в категорию, имеющую открытые множества в качестве объектов и единственный морфизм из в , если и только если содержится в . Категория предпучков множеств (абелевых групп, колец) на совпадает с категорией контравариантных функторов из в (или или ). В связи с этим примером, категория Funct(, ) иногда называется «категорией предпучков множеств на » даже для общих категорий, не возникающих из топологического пространства. Для определения пучков на общей категории требуется более сложная структура: топология Гротендика на (некоторые авторы называют категории, эквивалентные , предпучковыми категориями).
An arrow category (whose objects are the morphisms of , and whose morphisms are commuting squares in ) is just , where 2 is the category with two objects and their identity morphisms as well as an arrow from one object to the other (but not another arrow back the other way). A directed graph consists of a set of arrows and a set of vertices, and two functions from the arrow set to the vertex set, specifying each arrow's start and end vertex. The category of all directed graphs is thus nothing but the functor category , where is the category with two objects connected by two parallel morphisms (source and target), and Set denotes the category of sets. Any group can be considered as a one object category in which every morphism is invertible. The category of all sets is the same as the functor category Set. Natural transformations are maps. Similar to the previous example, the category of K linear representations of the group is the same as the functor category VectK (where VectK denotes the category of all vector spaces over the field K). Any ring can be considered as a one object preadditive category; the category of left modules over is the same as the additive functor category Add(,) (where denotes the category of abelian groups), and the category of right modules is Add(,). Because of this example, for any preadditive category , the category Add(,) is sometimes called the "category of left modules over " and Add(,) is the "category of right modules over ". The category of presheaves on a topological space is a functor category: we turn the topological space into a category having the open sets in as objects and a single morphism from to if and only if is contained in The category of presheaves of sets (abelian groups, rings) on is then the same as the category of contravariant functors from to (or or ). Because of this example, the category Funct(, ) is sometimes called the "category of presheaves of sets on " even for general categories not arising from a topological space. To define sheaves on a general category , one needs more structure: a Grothendieck topology on (Some authors refer to categories that are equivalent to as presheaf categories.)