Кіріспе
Фибоначчи тізбегіне негізделген кездейсоқ математикалық тізбек. Математикада, кездейсоқ Фибоначчи тізбегі – қайталану қатынасы арқылы анықталатын Фибоначчи тізбегінің стохастикалық аналогы, онда + немесе − белгілері тең ықтималдықпен кездейсоқ таңдалады, әрбір шама үшін тәуелсіз. Гарри Кестен мен Хиллель Фюрстенберг теоремасы бойынша, осындай кездейсоқ қайталама тізбектер белгілі бір экспоненциалдық жылдамдықпен өседі, бірақ осы жылдамдықты дәл есептеу қиын. 1999 жылы Дивакар Вишванат кездейсоқ Фибоначчи тізбегінің өсу жылдамдығы 1.1319882487943-ке тең екенін көрсетті, бұл математикалық тұрақты кейін Вишванат тұрақтысы деп атады.
In mathematics, the random Fibonacci sequence is a stochastic analogue of the Fibonacci sequence defined by the recurrence relation , where the signs + or − are chosen at random with equal probability , independently for different By a theorem of Harry Kesten and Hillel Furstenberg, random recurrent sequences of this kind grow at a certain exponential rate, but it is difficult to compute the rate explicitly. In 1999, Divakar Viswanath showed that the growth rate of the random Fibonacci sequence is equal to 1.1319882487943 , a mathematical constant that was later named Viswanath's constant.
Өсу қарқыны
Иоганн Кеплер n-нің өскен сайын Фибоначчи тізбегінің (Fn) тікелей келесі мүшелерінің қатынасы шамамен 1.61803 болатын алтын қатынасқа жақындасатынын анықтады. 1765 жылы Леонард Эйлер бүгінде Бине формуласы деп аталатын нақты формула жариялады, ол Фибоначчи сандарының алтын қатынас φ-ға тең экспоненциалдық жылдамдықпен өсетінін көрсетеді. 1960 жылы Хиллель Фюрстенберг пен Гарри Кестен кездейсоқ матрицалардың жалпы класы үшін норманың λn ретінде өсетінін көрсетті, мұнда n – факторлар саны. Олардың нәтижелері кездейсоқ Фибоначчи тізбегін де қамтитын кездейсоқ тізбектерді құру процестерінің кең класына қолданылады. Соның салдарынан, |fn| н-ші түбірі дерлік сөзсіз тұрақты мәнге немесе бірге бірге ықтималдықпен жақындайды:
It demonstrates that the Fibonacci numbers grow at an exponential rate equal to the golden ratio φ. In 1960, Hillel Furstenberg and Harry Kesten showed that for a general class of random matrix products, the norm grows as λn, where n is the number of factors. Their results apply to a broad class of random sequence generating processes that includes the random Fibonacci sequence. As a consequence, the nth root of |fn| converges to a constant value almost surely, or with probability one:
An explicit expression for this constant was found by Divakar Viswanath in 1999. It uses Furstenberg's formula for the Lyapunov exponent of a random matrix product and integration over a certain fractal measure on the Stern–Brocot tree. Moreover, Viswanath computed the numerical value above using floating point arithmetic validated by an analysis of the rounding error.
Осы тұрақты мәнге қатысты нақты өрнекті 1999 жылы Дивакар Вишванат тапты. Ол Фюрстенбергтің кездейсоқ матрица көбейтіндісінің Ляпунов көрсеткішіне арналған формуласын және Стерн-Броко ағашындағы белгілі бір фракталдық өлшем бойынша интегралдауды пайдаланды. Сонымен қатар, Вишванат жоғарыдағы сандық мәнді дөңгелектеу қатесін талдау арқылы расталған қозғалмалы нүктелік арифметиканы қолданып есептеді.
It demonstrates that the Fibonacci numbers grow at an exponential rate equal to the golden ratio φ. In 1960, Hillel Furstenberg and Harry Kesten showed that for a general class of random matrix products, the norm grows as λn, where n is the number of factors. Their results apply to a broad class of random sequence generating processes that includes the random Fibonacci sequence. As a consequence, the nth root of |fn| converges to a constant value almost surely, or with probability one:
An explicit expression for this constant was found by Divakar Viswanath in 1999. It uses Furstenberg's formula for the Lyapunov exponent of a random matrix product and integration over a certain fractal measure on the Stern–Brocot tree. Moreover, Viswanath computed the numerical value above using floating point arithmetic validated by an analysis of the rounding error.