Введение
Случайная математическая последовательность, основанная на последовательности Фибоначчи.
В математике случайная последовательность Фибоначчи является стохастическим аналогом последовательности Фибоначчи, определяемой рекуррентным соотношением , где знаки + или − выбираются случайным образом с равной вероятностью, независимо для каждого . По теореме Гарри Кестена и Хиллеля Фюрстенберга, случайные рекуррентные последовательности такого типа растут с определенной экспоненциальной скоростью, однако точное вычисление этой скорости представляет собой сложную задачу. В 1999 году Дивакар Вишванатх показал, что скорость роста случайной последовательности Фибоначчи равна 1,1319882487943 – математической константе, впоследствии названной константой Вишваната.
In mathematics, the random Fibonacci sequence is a stochastic analogue of the Fibonacci sequence defined by the recurrence relation , where the signs + or − are chosen at random with equal probability , independently for different By a theorem of Harry Kesten and Hillel Furstenberg, random recurrent sequences of this kind grow at a certain exponential rate, but it is difficult to compute the rate explicitly. In 1999, Divakar Viswanath showed that the growth rate of the random Fibonacci sequence is equal to 1.1319882487943 , a mathematical constant that was later named Viswanath's constant.
Темпы роста
Иоганн Кеплер обнаружил, что с увеличением n отношение последовательных членов последовательности Фибоначчи (Fn) приближается к золотому сечению, которое приблизительно равно 1,61803. В 1765 году Леонард Эйлер опубликовал явную формулу, известную сегодня как формула Бине, которая демонстрирует, что числа Фибоначчи растут экспоненциально со скоростью, равной золотому сечению φ. В 1960 году Хиллель Фурстенберг и Гарри Кестен показали, что для общего класса произведений случайных матриц норма растет как λn, где n – количество сомножителей. Их результаты применимы к широкому классу процессов генерации случайных последовательностей, включая случайную последовательность Фибоначчи. Как следствие, n-я степень из |fn| сходится к постоянному значению почти наверное, или с вероятностью один: явное выражение для этой константы было найдено Дивакаром Вишванатом в 1999 году. В нем используется формула Фурстенберга для показателя Ляпунова произведения случайных матриц и интегрирование по определенной фрактальной мере на дереве Штерна — Броко. Более того, Вишванат вычислил численное значение, используя арифметику с плавающей точкой, обоснованность которой подтверждена анализом ошибки округления.
It demonstrates that the Fibonacci numbers grow at an exponential rate equal to the golden ratio φ. In 1960, Hillel Furstenberg and Harry Kesten showed that for a general class of random matrix products, the norm grows as λn, where n is the number of factors. Their results apply to a broad class of random sequence generating processes that includes the random Fibonacci sequence. As a consequence, the nth root of |fn| converges to a constant value almost surely, or with probability one:
An explicit expression for this constant was found by Divakar Viswanath in 1999. It uses Furstenberg's formula for the Lyapunov exponent of a random matrix product and integration over a certain fractal measure on the Stern–Brocot tree. Moreover, Viswanath computed the numerical value above using floating point arithmetic validated by an analysis of the rounding error.