Анимагматикалық сандар және олардың қасиеттері

Кіріспе

Ауыспалы жай сан, сондай-ақ анаграммалық жай сан деп те аталады, – белгілі бір сан жүйесінде цифрларының орналасуы кез келген түрде өзгертілгенде де жай сан болып қалатын жай сан. Осы сандарды алғаш зерттеген Х.Э. Рихерт оларды ауыспалы жай сандар деп атады, бірақ кейін олар абсолютті жай сандар деп те аталды.

2-ші база

2- негізінде тек репуниттер ғана ауыстырылатын жай сандар бола алады, себебі кез келген 0-ді бірлік разрядына ауыстырғанда жұп сан шығады. Сондықтан, 2-лік санау жүйесіндегі ауыстырылатын жай сандар – Мерсен жай сандары. Кез келген позициялық санау жүйесі үшін, бірден көп таңбасы бар ауыстырылатын жай сандардың таңбалары, санау жүйесінің негізімен өзара жай болуы мүмкін деген қорытынды жасауға болады. Бір таңбалы жай сандар, яғни негізден кіші кез келген жай сан, әрқашан тривиалды түрде ауыстырылатын болады.

Өз бетімен негізделген негіздер

P(b, n, x, y) – b негізіндегі пермутабельді жай сан болсын және p – n ≥ p шартын қанағаттандыратын жай сан болсын. Егер b, p-нің түпнұсқа тамыры болса және p, x-ті немесе |x − y|-ді бөлмесе, онда n, p − 1-дің еселігі болады. (b, p модулі бойынша түпнұсқа тамыр және p, |x − y|-ді бөлмейді, сондықтан p сан xxxx xxxy, xxxx xxyx, xxxx xyxx, ..., xxxx xyxx xxxx (тек bp−2-ші цифры y, ал қалғандары x), xxxx yxxx xxxx (тек bp−1-ші цифры y, ал қалғандары x), xxxx xxxx (n x-тен тұратын қайталанатын сан) p модулі бойынша әртүрлі болады. Яғни, біреуі 0, екіншісі 1, үшіншісі 2, ..., соңғысы p − 1-ге тең. Осылайша, алғашқы p − 1 санның барлығы жай сандар болғандықтан, соңғы сан (n x-тен тұратын қайталанатын сан) p-ға бөлінуі керек. p, x-ті бөлмейтіндіктен, p, n бірліктерден тұратын қайталанатын санды бөлуі керек. b, p модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, n модулі p бойынша көбейту реті p − 1-ге тең. Осылайша, n, p − 1-ге бөлінуі керек.) Осылайша, егер b = 10 болса, онда 10-ға жақын сандар {1, 3, 7, 9} жиынынан шығады. 10, 7 модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, егер n ≥ 7 болса, онда 7, x-ті бөледі (осы жағдайда x = 7, өйткені x ∈ {1, 3, 7, 9}) немесе |x − y| (осы жағдайда x = y = 1, өйткені x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. Яғни, жай сан бірліктерден тұратын қайталанатын сан) немесе n, 7 − 1 = 6-ға еселі. Сол сияқты, 10, 17 модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, егер n ≥ 17 болса, онда 17, x-ті бөледі (мүмкін емес, өйткені x ∈ {1, 3, 7, 9}) немесе |x − y| (осы жағдайда x = y = 1, өйткені x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. Яғни, жай сан бірліктерден тұратын қайталанатын сан) немесе n, 17 − 1 = 16-ға еселі. Сонымен қатар, 10, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ... модулі бойынша түпнұсқа тамыр болады, сондықтан n ≥ 17 болуы өте қиын (өйткені осы жай сандар p үшін, егер n ≥ p болса, онда n, p − 1-ге бөлінеді), ал егер 7 ≤ n < 17 болса, онда x = 7 немесе n, 6-ға бөлінеді (бірден-бір мүмкін n - 12). Егер b = 12 болса, онда 12-ге жақын сандар {1, 5, 7, 11} жиынынан шығады. 12, 5 модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, егер n ≥ 5 болса, онда 5, x-ті бөледі (осы жағдайда x = 5, өйткені x ∈ {1, 5, 7, 11}) немесе |x − y| (осы жағдайда x = y = 1 (яғни, жай сан бірліктерден тұратын қайталанатын сан) немесе x = 1, y = 11 немесе x = 11, y = 1, өйткені x, y ∈ {1, 5, 7, 11}.) немесе n, 5 − 1 = 4-ке еселі. Сол сияқты, 12, 7 модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, егер n ≥ 7 болса, онда 7, x-ті бөледі (осы жағдайда x = 7, өйткені x ∈ {1, 5, 7, 11}) немесе |x − y| (осы жағдайда x = y = 1, өйткені x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. Яғни, жай сан бірліктерден тұратын қайталанатын сан) немесе n, 7 − 1 = 6-ға еселі. Сол сияқты, 12, 17 модулі бойынша түпнұсқа тамыр болғандықтан, егер n ≥ 17 болса, онда 17, x-ті бөледі (мүмкін емес, өйткені x ∈ {1, 5, 7, 11}) немесе |x − y| (осы жағдайда x = y = 1, өйткені x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. Яғни, жай сан бірліктерден тұратын қайталанатын сан) немесе n, 17 − 1 = 16-ға еселі. Сонымен қатар, 12, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197 ... модулі бойынша түпнұсқа тамыр болады, сондықтан n ≥ 17 болуы өте қиын (өйткені осы жай сандар p үшін, егер n ≥ p болса, онда n, p − 1-ге бөлінеді), ал егер 7 ≤ n < 17 болса, онда x = 7 (осы жағдайда, 5, x-ті немесе x − y-ді бөлмейтіндіктен, n, 4-ке бөлінуі керек) немесе n, 6-ға бөлінеді (бірден-бір мүмкін n - 12).

Let P(b, n, x, y) be a permutable prime in base b and let p be a prime such that n ≥ p. If b is a primitive root of p, and p does not divide x or |x y|, then n is a multiple of p 1. (Since b is a primitive root mod p and p does not divide |x − y|, the p numbers xxxx xxxy, xxxx xxyx, xxxx xyxx, , xxxx xyxx xxxx (only the bp−2 digit is y, others are all x), xxxx yxxx xxxx (only the bp−1 digit is y, others are all x), xxxx xxxx (the repdigit with n xs) mod p are all different. That is, one is 0, another is 1, another is 2, , the other is p − 1. Thus, since the first p − 1 numbers are all primes, the last number (the repdigit with n xs) must be divisible by p. Since p does not divide x, so p must divide the repunit with n 1s. Since b is a primitive root mod p, the multiplicative order of n mod p is p − 1. Thus, n must be divisible by p − 1.) Thus, if b = 10, the digits coprime to 10 are {1, 3, 7, 9}. Since 10 is a primitive root mod 7, so if n ≥ 7, then either 7 divides x (in this case, x = 7, since x ∈ {1, 3, 7, 9}) or |x − y| (in this case, x = y = 1, since x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. That is, the prime is a repunit) or n is a multiple of 7 − 1 = 6. Similarly, since 10 is a primitive root mod 17, so if n ≥ 17, then either 17 divides x (not possible, since x ∈ {1, 3, 7, 9}) or |x − y| (in this case, x = y = 1, since x, y ∈ {1, 3, 7, 9}. That is, the prime is a repunit) or n is a multiple of 17 − 1 = 16. Besides, 10 is also a primitive root mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, , so n ≥ 17 is very impossible (since for this primes p, if n ≥ p, then n is divisible by p − 1), and if 7 ≤ n < 17, then x = 7, or n is divisible by 6 (the only possible n is 12). If b = 12, the digits coprime to 12 are {1, 5, 7, 11}. Since 12 is a primitive root mod 5, so if n ≥ 5, then either 5 divides x (in this case, x = 5, since x ∈ {1, 5, 7, 11}) or |x − y| (in this case, either x = y = 1 (That is, the prime is a repunit) or x = 1, y = 11 or x = 11, y = 1, since x, y ∈ {1, 5, 7, 11}.) or n is a multiple of 5 − 1 = 4. Similarly, since 12 is a primitive root mod 7, so if n ≥ 7, then either 7 divides x (in this case, x = 7, since x ∈ {1, 5, 7, 11}) or |x − y| (in this case, x = y = 1, since x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. That is, the prime is a repunit) or n is a multiple of 7 − 1 = 6. Similarly, since 12 is a primitive root mod 17, so if n ≥ 17, then either 17 divides x (not possible, since x ∈ {1, 5, 7, 11}) or |x − y| (in this case, x = y = 1, since x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. That is, the prime is a repunit) or n is a multiple of 17 − 1 = 16. Besides, 12 is also a primitive root mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, , so n ≥ 17 is very impossible (since for this primes p, if n ≥ p, then n is divisible by p − 1), and if 7 ≤ n < 17, then x = 7 (in this case, since 5 does not divide x or x − y, so n must be divisible by 4) or n is divisible by 6 (the only possible n is 12).