Орташа мән есептеудің статистикалық әдісі – қырқылған орташа. Деректердің шектерін (жоғарғы және төменгі) алып тастап, қалғандарының орташасы шығарылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Орталық тенденцияның статистикалық өлшемі
Statistical measure of central tendency
Қысқартылған орташа немесе уақталған орташа – орталық тенденцияның статистикалық өлшемі, орташа және медианаға ұқсас. Ол ықтималдық таралымының немесе үлгінің жоғары және төменгі шектегі белгілі бір бөліктерін жойғаннан кейін орташаны есептеуді қамтиды, әдетте екі жағынан да тең мөлшерде жойылады. Жойылатын мәндік саны әдетте жалпы мәндік санының пайызы ретінде беріледі, бірақ белгілі бір сан ретінде де берілуі мүмкін. Көптеген статистикалық қолданыстарда, соңғы 5-25 пайызы жойылады. Мысалы, 8 мәндік жиынтық болғанда, 12,5% қысқару үлгідегі ең кіші және ең үлкен мәнді – ең төменгі және ең жоғары мәнді жойып, қалған 6 мәннің орташасын есептейді. 25% қысқартылған орташа (ең төменгі 25% және ең жоғары 25% жойылғанда) квартильдік орташа деп аталады. Медиана толық қысқартылған орташа ретінде қарастырылуы мүмкін және ол ең тұрақтысы болып табылады. Басқа қысқартылған бағалаушылар сияқты, қысқартылған орташаның басты артықшылығы – аралас таралымдар мен қалың құйрықты таралымдар үшін (мысалы, Коши таралымы) тұрақтылығы мен жоғары тиімділігі, бірақ басқа, аз қалың құйрықты таралымдар үшін тиімділік төмендеуі мүмкін (мысалы, қалыпты таралым). Орташа таралымдар үшін орташа мен медиананың тиімділігі арасындағы айырмашылықтар өте үлкен емес, мысалы, 2 еркіндік дәрежесі бар Стьюдент t-таралымы үшін орташа мен медиананың дисперсиялары шамамен тең.
A truncated mean or trimmed mean is a statistical measure of central tendency, much like the mean and median. It involves the calculation of the mean after discarding given parts of a probability distribution or sample at the high and low end, and typically discarding an equal amount of both. This number of points to be discarded is usually given as a percentage of the total number of points, but may also be given as a fixed number of points. For most statistical applications, 5 to 25 percent of the ends are discarded. For example, given a set of 8 points, trimming by 12.5% would discard the minimum and maximum value in the sample: the smallest and largest values, and would compute the mean of the remaining 6 points. The 25% trimmed mean (when the lowest 25% and the highest 25% are discarded) is known as the interquartile mean. The median can be regarded as a fully truncated mean and is most robust. As with other trimmed estimators, the main advantage of the trimmed mean is robustness and higher efficiency for mixed distributions and heavy tailed distribution (like the Cauchy distribution), at the cost of lower efficiency for some other less heavily tailed distributions (such as the normal distribution). For intermediate distributions the differences between the efficiency of the mean and the median are not very big, e. g. for the student t distribution with 2 degrees of freedom the variances for mean and median are nearly equal.
Терминология
Орталық Еуропаның кейбір аймақтарында бұл Виндзор орташасы деп те аталады, бірақ бұл атау Виндзорланған орташамен шатастырылмауы керек: соңғысында қысқартылған орташа есеппен жойылған байқаулар қалған мәндердің ең үлкенімен/ең кішісімен алмастырылады. Тек ең жоғары және ең төменгі мәндерді жою – әсіресе басқару статистикасында – өзгертілген орташа деп аталады. Бұл Олимпиадалық орташа деп те белгілі (мысалы, АҚШ-тың ауыл шаруашылығындағы орташа егін кірісін таңдау сияқты), себебі оны Олимпиадалық жарыстарда, мысалы, мәнерлеп сырғанаудағы ISU төрелік жүйесінде, бір ғана ерекше жағдайға түскен төрешінің бағасына қарсы тұру үшін пайдаланады.
In some regions of Central Europe it is also known as a Windsor mean, but this name should not be confused with the Winsorized mean: in the latter, the observations that the trimmed mean would discard are instead replaced by the largest/smallest of the remaining values. Discarding only the maximum and minimum is known as the modified mean, particularly in management statistics. This is also known as the Olympic average (for example in US agriculture, like the Average Crop Revenue Election), due to its use in Olympic events, such as the ISU Judging System in figure skating, to make the score robust to a single outlier judge.
Интерполяция
Егер тасталатын нүктелердің пайызы толық санды көрсетпесе, қысқартылған орташа мән интерполяция арқылы, әдетте ең жақын толық сандар арасындағы сызықтық интерполяция арқылы анықталуы мүмкін. Мысалы, егер 10 жазбадан тұратын үлгіде 15% қысқартылған орташа мәнді есептеу қажет болса, бұл әр жағынан 1 ұпайды жоюды білдіреді (бұл 10% қысқартылған орташа мәнмен тең). Интерполяция жасалса, 10% қысқартылған орташа мән (әр жағынан 1 ұпайды жою) және 20% қысқартылған орташа мән (әр жағынан 2 ұпайды жою) есептеліп, содан кейін интерполяция жасалады, яғни осы екі мәннің орташасы алынады. Сол сияқты, 12% қысқартылған орташа мәнді интерполяциялау кезінде салмақталған орташа есептеледі: 10% қысқартылған орташа мәнге 0,8 және 20% қысқартылған орташа мәнге 0,2 салмағы беріледі.
When the percentage of points to discard does not yield a whole number, the trimmed mean may be defined by interpolation, generally linear interpolation, between the nearest whole numbers. For example, if you need to calculate the 15% trimmed mean of a sample containing 10 entries, strictly this would mean discarding 1 point from each end (equivalent to the 10% trimmed mean). If interpolating, one would instead compute the 10% trimmed mean (discarding 1 point from each end) and the 20% trimmed mean (discarding 2 points from each end), and then interpolating, in this case averaging these two values. Similarly, if interpolating the 12% trimmed mean, one would take the weighted average: weight the 10% trimmed mean by 0.8 and the 20% trimmed mean by 0.2.
Артықшылықтар
Қысқартылған орташа – пайдалы бағалаушы, себебі ол орташаға қарағанда сыртқы мәндерге (аутлаерлерге) аз сезімтал, бірақ көптеген статистикалық модельдер үшін орталық тенденцияны немесе орташа мәнді дұрыс бағалай алады. Осы себепті ол берік бағалаушы деп аталады. Мысалы, Олимпиада төрелігінде ең жоғары және ең төменгі баллдарды алып тастау, бір төрешінің тым жоғары немесе тым төмен балл қою арқылы жалпы нәтижені өзгертпеуіне мүмкіндік береді. Қысқартылған орташаны қолданудың тиімді жағдайларының бірі – Коши таралымының орналасу параметрін бағалау кезінде. Коши таралымы – қалыпты таралымнан әлдеқайда қалың құйрықтары бар, қоңырау пішіндес ықтималдық таралымы. Дәлелдеуге болады, ортаңғы 24% үлгілік мәндердің қысқартылған орташасы (яғни, әр жағынан 38% алып тастау) популяцияның орналасу параметрін бағалауда, үлгінің медианасын немесе толық үлгінің орташасын пайдаланудан тиімдірек нәтиже береді. Дегенмен, Коши таралымының қалың құйрықтарына байланысты, бағалауда үлгінің көбірек бөлігі қолданылса, бағалаушының тиімділігі төмендейді.
The truncated mean is a useful estimator because it is less sensitive to outliers than the mean but will still give a reasonable estimate of central tendency or mean for many statistical models. In this regard it is referred to as a robust estimator. For example, in its use in Olympic judging, truncating the maximum and minimum prevents a single judge from increasing or lowering the overall score by giving an exceptionally high or low score. One situation in which it can be advantageous to use a truncated mean is when estimating the location parameter of a Cauchy distribution, a bell shaped probability distribution with (much) fatter tails than a normal distribution. It can be shown that the truncated mean of the middle 24% sample order statistics (i. e., truncate the sample by 38% at each end) produces an estimate for the population location parameter that is more efficient than using either the sample median or the full sample mean. However, due to the fat tails of the Cauchy distribution, the efficiency of the estimator decreases as more of the sample gets used in the estimate.
Статистикалық сынақтар
Қиылған орта мәнге негізделген Студенттің t-сынағын жасауға болады, бұл Юэннің t-сынағы деп аталады және R бағдарламасында оның бірнеше нұсқасы бар.
It is possible to perform a Student's t test based on the truncated mean, which is called Yuen's t test, which also has several implementations in R.