Введение

Статистическая мера центральной тенденции

Усечённое среднее, или триммированное среднее, — это статистическая мера центральной тенденции, аналогичная среднему и медиане. Оно вычисляется как среднее значение после исключения определённой части распределения вероятностей или выборки с обоих концов (как с верхнего, так и с нижнего), обычно в одинаковом объёме. Количество исключаемых значений обычно задаётся в процентах от общего числа значений, но может быть указано и в виде фиксированного числа. Для большинства статистических задач отбрасывают от 5 до 25 процентов значений с обоих концов. Например, для набора из 8 значений усечение на 12,5% предполагает исключение минимального и максимального значений выборки – наименьшего и наибольшего значений, после чего вычисляется среднее значение оставшихся 6 значений. Усечённое среднее с 25%-ным исключением (когда отбрасываются нижние и верхние 25%) известно как межквартильный размах. Медиана можно рассматривать как полностью усечённое среднее и является наиболее устойчивой мерой. Как и другие устойчивые оценки, основное преимущество усечённого среднего – устойчивость к выбросам и более высокая эффективность для смешанных и тяжёлых распределений (например, распределения Коши), но при этом снижается эффективность для распределений с менее выраженными хвостами (например, нормального распределения). Для промежуточных распределений разница в эффективности между средним и медианой невелика; например, для t-распределения Стьюдента с 2 степенями свободы дисперсии среднего и медианы почти равны.

Терминология

В некоторых регионах Центральной Европы оно также известно как среднее Виндзора, но это название не следует путать со средним Виндзоризации: в последнем наблюдения, которые были бы отброшены при усеченном среднем, вместо этого заменяются наибольшим/наименьшим из оставшихся значений. Отбрасывание только максимального и минимального значений известно как модифицированное среднее, особенно в статистике управления. Оно также известно как олимпийское среднее (например, в сельском хозяйстве США, как выбор среднего дохода от урожая), благодаря его использованию в олимпийских видах спорта, таких как система судейства ISU в фигурном катании, для повышения устойчивости оценки к единичному выбросу от судьи.

Интерполяция

Когда процент отбрасываемых точек не является целым числом, усеченное среднее может быть определено путем интерполяции, как правило линейной интерполяции, между ближайшими целыми числами. Например, если необходимо вычислить 15%-е усеченное среднее для выборки, содержащей 10 элементов, строго говоря, это означало бы отбрасывание 1 элемента с каждого конца (что эквивалентно 10%-му усеченному среднему). При интерполяции следует вычислить 10%-е усеченное среднее (отбрасывая 1 элемент с каждого конца) и 20%-е усеченное среднее (отбрасывая 2 элемента с каждого конца), а затем выполнить интерполяцию, в данном случае – усреднить эти два значения. Аналогично, при интерполяции 12%-го усеченного среднего следует использовать взвешенное среднее: присвоить 10%-му усеченному среднему вес 0,8, а 20%-му усеченному среднему – вес 0,2.

Преимущества

Обрезанное среднее является полезным оценщиком, поскольку оно менее чувствительно к выбросам, чем обычное среднее, но при этом позволяет получить разумную оценку центральной тенденции или среднего значения для многих статистических моделей. В связи с этим оно называется устойчивым оценщиком. Например, при использовании в судействе на Олимпийских играх, отбрасывание максимальных и минимальных значений не позволяет одному судье существенно повысить или понизить общий балл, выставив исключительно высокую или низкую оценку. Одной из ситуаций, когда использование обрезанного среднего может быть целесообразным, является оценка параметра расположения распределения Коши – распределения вероятностей, имеющего форму колокола с (значительно) более тяжелыми хвостами, чем нормальное распределение. Можно показать, что обрезанное среднее, рассчитанное по центральным 24% упорядоченных выборок (то есть, отбрасывающее по 38% выборок с каждого конца), дает оценку параметра расположения генеральной совокупности, которая более эффективна, чем использование медианы выборки или среднего значения по всей выборке. Однако из-за тяжелых хвостов распределения Коши эффективность оценщика снижается при увеличении объема выборки, используемой для оценки.

Статистические тесты

Можно выполнить t-тест Стьюдента на основе усеченного среднего, который называется t-тестом Юэна и имеет несколько реализаций в R.