Кіріспе

Кездейсоқ санаттағы объектілерге эквиваленттілік қатынасы арқылы квозиенттің жалпылануы. Категория теориясында коэквалайзер (немесе коэквалайзер) – кез келген санаттағы объектілерге эквиваленттілік қатынасы арқылы квозиенттің жалпылануы болып табылады. Ол эквалайзерге дуалды категориалық құрылым.

Анықтама

Коэквилизатор — X және Y екі объектісінен және f, g: X → Y екі параллель морфизмнен тұратын диаграмманың колимиті. Нақтырақ айтқанда, f және g параллель морфизмдерінің коэквилизаторын Q объектісі және q: Y → Q морфизмімен бірге анықтауға болады, мұндағы 1 = q ∘ f = q ∘ g. Сонымен қатар, (Q, q) жұбы универсалды болуы керек, яғни кез келген басқа (Q′, q′) жұбы үшін Q → Q′ бірегей морфизмі u бар, мұндағы 1 = u ∘ q = q′. Бұл ақпаратты келесі коммутативті диаграмма арқылы көрсетуге болады: Барлық универсалды құрылымдардағыдай, коэквилизатор, егер ол бар болса, бірегей изоморфизмге дейін бірегей (осы себепті, тілді жеңілдетіп айтқанда, кейде екі параллель жебенің "коэквилизаторы" деп сөйлейді). Коэквилизаторлық жебе q кез келген санатта эпиморфизм екенін көрсетуге болады.

Мысалдар

Жинақтар санатында екі функция f, g: X → Y теңдеуі Y-тің ең кіші теңдестік қатынасы ~ бойынша бөліндісі болып табылады, яғни кез келген x ∈ X үшін f(x) ~ g(x) орындалады. Атап айтқанда, егер R жиынтық Y-да теңдестік қатынасы болса, ал r1, r2 табиғи проекциялар болса (R ⊂ Y × Y) → Y, онда r1 және r2 теңдеуі Y / R бөлінді жиынтығы болып табылады. (Сондай-ақ қараңыз: теңдестік қатынасы бойынша бөлінді.) Топтар санатындағы теңдеуі де өте ұқсас. Мұнда егер f, g: X → Y топтық гомоморфизмдер болса, олардың теңдеуі жиынның нормалды жабылуы арқылы Y-тің бөліндісі болып табылады.

Абельдік топтар үшін теңдеуі ерекше қарапайым. Ол Y / im(f – g) фактор тобы болып табылады. (Бұл f – g морфизмінің кокернелі; келесі бөлімді қараңыз.) Топологиялық кеңістіктер санатында шеңбер объектісі S1 стандартты 0 симплекстен стандартты 1 симплекске дейінгі екі кіріктіру картасының теңдеуі ретінде қарастырылуы мүмкін. Теңдеуіштер үлкен болуы мүмкін: бір нысан мен бір сәйкестік жебесі бар 1 санатынан екі нысан мен олардың арасында сәйкестік емес бір жебесі бар 2 санатына дәл екі функтор бар. Бұл екі функтордың теңдеуі – қосылатын натурал сандардың моноиді, ол бір нысанды санат ретінде қарастырылады. Бұл, әсіресе, әрбір теңдеуіш жебе эпикалық болғанымен, міндетті түрде сюръективті емес екенін көрсетеді.

Қасиеттері

Әрбір теңдестіргіш эпиморфизм болып табылады. Топоста әрбір эпиморфизм өзінің ядролық жұбының теңдестіргіші болып табылады.

Ерекше жағдайлар

Нөлдік морфизмдері бар санаттарда, f морфизмінің кокернелі, f және параллель нөлдік морфизмнің теңдестіргіші ретінде анықталады. Преаддитивті санаттарда морфизмдерді қосу және алу мағыналы (гоможинақтар шын мәнінде абельдік топтар құрайды). Мұндай санаттарда, екі морфизм f және g-нің теңдестіргіші, олардың айырмасының кокернелі ретінде анықталады: coeq(f, g) = coker(g – f). Күшті түсінік – абсолютті теңдестіргіш, ол барлық функторлар бойынша сақталады. Формальды түрде, C санатындағы f, g: X → Y параллель жебелер жұбының абсолютті теңдестіргіші, жоғарыда анықталғандай теңдестіргіш болып табылады, бірақ қосымша талап ретінде, кез келген функтор F: C → D үшін, F(Q) және F(q) D санатындағы F(f) және F(g) теңдестіргіші болып табылады. Бөлінетін теңдестіргіштер абсолютті теңдестіргіштердің мысалы болып табылады.