Введение

Обобщение частного по отношению эквивалентности к объектам в произвольной категории

В теории категорий коэквилизатор (или коэквилайзер) — это обобщение частного по отношению эквивалентности к объектам в произвольной категории. Это категорическая конструкция, дуальная эквалайзеру.

Определение

Коэквилизатор — это колимит диаграммы, состоящей из двух объектов X и Y и двух параллельных морфизмов f, g : X → Y. Более точно, коэквилизатор параллельных морфизмов f и g можно определить как объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q, таким что q ∘ f = q ∘ g. Кроме того, пара (Q, q) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары (Q′, q′) существует единственный морфизм u : Q → Q′, такой что u ∘ q = q′. Эта информация может быть представлена следующей коммутативной диаграммой:

Как и во всех универсальных конструкциях, коэквилизатор, если он существует, уникален с точностью до уникального изоморфизма (поэтому, несколько неточно, иногда говорят о "коэквилизаторе" двух параллельных стрелок). Можно показать, что коэквилизирующий морфизм q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры

В категории множеств коэквилизатор двух функций f, g : X → Y является фактормножеством Y по наименьшему отношению эквивалентности ~ такому, что для каждого x ∈ X выполняется f(x) ~ g(x). В частности, если R – отношение эквивалентности на множестве Y, а r1, r2 – естественные проекции (R ⊂ Y × Y) → Y, то коэквилизатор r1 и r2 – это фактормножество Y / R. (См. также: фактор по отношению эквивалентности.) Коэквилизатор в категории групп очень похож. Здесь, если f, g : X → Y – гомоморфизмы групп, их коэквилизатор является фактормножеством Y по нормальному замыканию множества. Для абелевых групп коэквилизатор особенно прост. Он представляет собой факторгруппу Y / im(f – g). (Это коядро морфизма f – g; см. следующий раздел.) В категории топологических пространств круг S1 можно рассматривать как коэквилизатор двух отображений включения из стандартного 0-симплекса в стандартный 1-симплекс. Коэквилизаторы могут быть большими: существует ровно два функтора из категории 1, имеющей один объект и одну стрелку тождества, в категорию 2 с двумя объектами и одной нетождественной стрелкой между ними. Коэквилизатор этих двух функторов – моноид натуральных чисел относительно сложения, рассматриваемый как категория с одним объектом. В частности, это показывает, что хотя каждая коэквилизирующая стрела является эпической, она не обязательно сюръективна.

Свойства

Каждый коэквилизатор является эпиморфизмом. В топосе каждый эпиморфизм является коэквилизатором своей пары ядер.

Особые случаи

В категориях с нулевыми морфизмами можно определить коядро морфизма f как коэквилизатор f и параллельного нулевого морфизма. В предаддитивных категориях имеет смысл складывать и вычитать морфизмы (гомо-множества фактически образуют абелевы группы). В таких категориях можно определить коэквилизатор двух морфизмов f и g как коядро их разности: coeq(f, g) = coker(g – f). Более сильным понятием является абсолютный коэквилизатор – это коэквилизатор, который сохраняется при всех функторах. Формально, абсолютный коэквилизатор пары параллельных стрелок f, g : X → Y в категории C – это коэквилизатор, как определено выше, но с дополнительным свойством, что для любого функтора F : C → D, F(Q) вместе с F(q) является коэквилизатором F(f) и F(g) в категории D. Разделимые коэквилизаторы являются примерами абсолютных коэквилизаторов.