Физикалық теориялардың баламалығы: S-дуализм

Кіріспе

Физикалық екі теорияның теңдестігі
Физикадағы S-дуалдығы (күшті-әлсіз дуалдығы)

Теориялық физикада S-дуалдығы (күшті-әлсіз дуалдығы немесе Сен дуалдығының қысқартылған атауы) – екі физикалық теорияның теңдестігі, олар кванттық өріс теориялары немесе жол теориялары болуы мүмкін. S-дуалдығы теориялық физикадағы есептеулер үшін пайдалы, себебі ол есептеулерді жүргізу қиын теорияны, оларды оңай жүргізуге болатын теориямен байланыстырады. Кванттық өріс теориясында S-дуалдығы классикалық электродинамикадан белгілі бір фактіні жалпылайды, атап айтқанда, электр және магнит өрістерін алмастырғанда Максвелл теңдеулерінің өзгермейтін қасиетін. Кванттық өріс теориясындағы S-дуалдығының ең ерте мысалдарының бірі – Монтонен-Олив дуалдығы, ол N = 4 суперсимметриялық Янг-Миллс теориясы деп аталатын кванттық өріс теориясының екі түрін байланыстырады. Антон Капустин мен Эдвард Виттеннің соңғы жұмыстары Монтонен-Олив дуалдығының геометриялық Лэнглендс бағдарламасы деп аталатын математикадағы зерттеу бағдарламасымен тығыз байланысты екенін көрсетеді. Кванттық өріс теориясындағы S-дуалдығының тағы бір көрінісі – Сейберг дуалдығы, ол N = 1 суперсимметриялық Янг-Миллс теориясы деп аталатын теорияның екі түрін байланыстырады. Жол теориясында да S-дуалдығының көптеген мысалдары бар. Мұндай жол дуалдығының болуы, сырттай әртүрлі көрінетін теориялардың физикалық тұрғыдан теңдестік екенін көрсетеді. Бұл 1990 жылдардың ортасында бес тұрақты супержол теориясының барлығының бір ғана он бір өлшемді М-теорияның әртүрлі шектеу жағдайлары екенін түсінуге әкелді.

Шолу

Кванттық өріс теориясы мен іс тізбектік теориясында жұпталу тұрақтысы – теориядағы өзара әрекеттесулердің күшін бақылайтын сан. Мысалы, гравитацияның күші Ньютон тұрақтысы деп аталатын санмен сипатталады, ол Ньютонның гравитация заңында және Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясының теңдеулерінде де кездеседі. Сол сияқты, электромагниттік күштің күші бір протонның зарядымен байланысты жұпталу тұрақтысымен сипатталады. Кванттық өріс теориясында немесе іс тізбектік теориясында байқалатын шамаларды есептеу үшін физиктер көбінесе бұзылу теориясының әдістерін қолданады. Бұзылу теориясында, түрлі физикалық процестердің болу ықтималдығын анықтайтын ықтималдық амплитудалары деп аталатын шамалар, шексіз көп мүшелердің қосындысы түрінде өрнектеледі, мұнда әрбір мүше жұпталу тұрақтысының дәрежесіне пропорционалды:

Мұндай өрнектің мағынасы болуы үшін, жұпталу тұрақтысы 1-ден кіші болуы керек, сонда жоғары дәрежелердің мәні мардымсыз кішкентай болады және қосынды шекті болады. Егер жұпталу тұрақтысы 1-ден кіші болмаса, онда осы қосындының мүшелері үлкейе береді, ал өрнек мағынасыз, шексіз жауап береді. Мұндай жағдайда теория күшті жұпталуға ие деп айтылады, және болжамдар жасау үшін бұзылу теориясын қолдануға болмайды. Кейбір теориялар үшін S-дуальдығы күшті жұпталуда есептеулер жасаудың жолын ұсынады, осы есептеулерді әлсіз жұпталуға ие теориядағы басқа есептеулерге ауыстыру арқылы. S-дуальдығы – физикадағы дуальдықтың жалпы ұғымының нақты мысалы. Дуальдық термині екі көріне әртүрлі физикалық жүйелердің күтпеген түрде эквивалентті болып шығатын жағдайды білдіреді. Егер екі теория дуальдықтың көмегімен байланысқан болса, онда бірінші теорияны бір жолмен өзгертуге болады, сонда ол екінші теорияға ұқсас болады. Осы трансформация кезінде екі теория бір-біріне дуальды болып саналады. Басқаша айтқанда, екі теория бір құбылыстың математикалық түрдегі әртүрлі сипаттамалары болып табылады. S-дуальдығы пайдалы, себебі ол жұпталу тұрақтысы бар теорияны, сол жұпталу тұрақтысымен эквивалентті теориямен байланыстырады. Осылайша, ол күшті жұпталуға ие теорияны (жұпталу тұрақтысы 1-ден әлдеқайда үлкен) әлсіз жұпталуға ие теориямен байланыстырады (жұпталу тұрақтысы 1-ден әлдеқайда кішкентай және есептеулерге мүмкіндік бар). Осы себепті S-дуальдығы күшті-әлсіз дуальдығы деп аталады.

Монтонен-Оливия дуалдығы

Кванттық өріс теориясында электр және магнит өрістері электромагниттік өріс деп аталатын бірлікке біріктіріледі, ал бұл өріс гаудж теориясы немесе Янг-Миллс теориясы деп аталатын кванттық өріс теориясының ерекше түрімен сипатталады. Гаудж теориясында физикалық өрістердің жоғары дәрежедегі симметриясы бар, оны математикалық тұрғыдан түсіну үшін Ли тобының ұғымы қолданылады. Бұл Ли тобы өлшегіш топ деп аталады. Электромагниттік өріс өте қарапайым гаудж теориясымен сипатталады, ол абельдік өлшегіш топ U(1)-ге сәйкес келеді, бірақ күрделі емес өлшегіш топтары бар басқа гаудж теориялары да бар. Максвелл теңдеулерінде электр және магнит өрістерін алмастыратын симметрияның гаудж теориясындағы аналогы бар ма деген сұрақ туындайды. Бұл сұраққа 1970 жылдардың соңында Клаус Монтонен мен Дэвид Олив, алдындағы Петер Годдард, Жан Нюйц және Оливтің жұмыстарын пайдалана отырып жауап берді. Олардың жұмысы қазір Монтонен-Оливе дуалдығы деп аталатын S дуалдығының мысалын ұсынады. Монтонен-Оливе дуалдығы N = 4 суперсимметриялық Янг-Миллс теориясы деп аталатын ерекше гаудж теориясына қатысты және ол екі мұндай теория белгілі бір дәл мағынада эквивалентті болуы мүмкін дейді. Кванттық өріс теориясындағы маңызды шама – комплекстелген байланыс тұрақтысы. Бұл – формуламен анықталатын комплекс сан, онда θ бұрышы, теорияны анықтайтын Лагранждықта пайда болатын шама болып табылады. 1960 жылдардың соңында Роберт Лэнглендс ұсынған Лэнглендс сәйкестігі сандар теориясындағы маңызды болжамдармен байланысты, мысалы Танияма-Шимура болжамы, оның ішінде Ферманың соңғы теоремасы ерекше жағдай ретінде қарастырылады. S дуалдығымен байланысты екі Янг-Миллс теориясынан бастап, Капустин мен Виттен екі өлшемді кеңістікте кванттық өріс теориясының жұбын құруға болатынын көрсетті. Бұл өлшемдік азайтудың D-брана деп аталатын белгілі бір физикалық объектілерге қалай әсер ететінін талдау арқылы олар геометриялық Лэнглендс сәйкестігінің математикалық элементтерін қалпына келтіруге болатынын көрсетті. Олардың жұмысы Лэнглендс сәйкестігінің кванттық өріс теориясындағы S дуалдығымен тығыз байланысты екенін көрсетеді, бұл екі саланың дамуына ықпал етуі мүмкін. Монтонен-Оливе дуалдығынан айырмашылығы, төрт өлшемді кеңістіктегі максималды суперсимметриялық гаудж теориясының екі түрін байланыстыратын Сейберг дуалдығы N=1 суперсимметриялық гаудж теориялары деп аталатын симметриясы төмен теорияларды байланыстырады. Сейберг дуалдығында пайда болатын екі N=1 теориясы бірдей емес, бірақ олар үлкен қашықтықтарда бірдей физикалық нәтижелерге әкеледі. Монтонен-Оливе дуалдығы сияқты, Сейберг дуалдығы да Максвелл теңдеулерінде электр және магнит өрістерін алмастыратын симметрияны жалпылайды.

In quantum field theory, the electric and magnetic fields are unified into a single entity called the electromagnetic field, and this field is described by a special type of quantum field theory called a gauge theory or Yang–Mills theory. In a gauge theory, the physical fields have a high degree of symmetry which can be understood mathematically using the notion of a Lie group. This Lie group is known as the gauge group. The electromagnetic field is described by a very simple gauge theory corresponding to the abelian gauge group U(1), but there are other gauge theories with more complicated non abelian gauge groups. It is natural to ask whether there is an analog in gauge theory of the symmetry interchanging the electric and magnetic fields in Maxwell's equations. The answer was given in the late 1970s by Claus Montonen and David Olive, building on earlier work of Peter Goddard, Jean Nuyts, and Olive. Their work provides an example of S duality now known as Montonen–Olive duality. Montonen–Olive duality applies to a very special type of gauge theory called N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory, and it says that two such theories may be equivalent in a certain precise sense. An important quantity in quantum field theory is complexified coupling constant. This is a complex number defined by the formula

where is the theta angle, a quantity appearing in the Lagrangian that defines the theory, Formulated by Robert Langlands in the late 1960s, the Langlands correspondence is related to important conjectures in number theory such as the Taniyama–Shimura conjecture, which includes Fermat's Last Theorem as a special case. Starting with two Yang–Mills theories related by S duality, Kapustin and Witten showed that one can construct a pair of quantum field theories in two dimensional spacetime. By analyzing what this dimensional reduction does to certain physical objects called D branes, they showed that one can recover the mathematical ingredients of the geometric Langlands correspondence. Their work shows that the Langlands correspondence is closely related to S duality in quantum field theory, with possible applications in both subjects. Unlike Montonen–Olive duality, which relates two versions of the maximally supersymmetric gauge theory in four dimensional spacetime, Seiberg duality relates less symmetric theories called N=1 supersymmetric gauge theories. The two N=1 theories appearing in Seiberg duality are not identical, but they give rise to the same physics at large distances. Like Montonen–Olive duality, Seiberg duality generalizes the symmetry of Maxwell's equations that interchanges electric and magnetic fields.

Сызық теориясында

1990 жылдардың ортасына дейін, сап теориясымен айналысқан физиктер теорияның бес бөлек нұсқасы бар деп есептеді: I тип, IIA тип, IIB тип және гетеротикалық сап теориясының екі түрі (SO(32) және E8×E8). Әр түрлі теориялар әртүрлі тізбектерге мүмкіндік береді, ал төмен энергияда пайда болатын бөлшектер әртүрлі симметрияларды көрсетеді. 1990 жылдардың ортасында физиктер осы бес теорияның өте күрделі дуалдықтар арқылы байланысты екенін анықтады. Осы дуалдықтардың бірі – S-дуалдығы. S-дуалдығының бар екендігін алғаш рет 1994 жылы Ашоке Сен ұсынды. IIB типті сап теориясы, жұпталу тұрақтысымен, S-дуалдығы арқылы сол сап теориясымен, жұпталу тұрақтысымен тең екендігі көрсетілді. Сол сияқты, I типті сап теориясы, жұпталу тұрақтысымен, SO(32) гетеротикалық сап теориясына, жұпталу тұрақтысымен тең. Осы дуалдықтардың болуы бес сап теориясының, шын мәнінде, бөлек теориялар емес екенін көрсетті. 1995 жылы Оңтүстік Калифорния университетінде өткен сап теориясы конференциясында Эдвард Виттен осы бес теорияның барлығының қазір М-теория деп аталатын бір теорияның әртүрлі лимиттері екенін таңқаларлық түрде айтты. Виттеннің ұсынысы IIA және E8×E8 гетеротикалық сап теорияларының он бір өлшемді супергравитация деп аталатын гравитациялық теориямен тығыз байланысты екеніне жасаған байқауына негізделген. Оның бұл хабарламасынан кейін, қазір екінші суперстрің революциясы деп танылатын жұмыстардың қарқынды дамуы басталды.