Введение

Эквивалентность двух физических теорий
S-дуальность (сильная-слабая дуальность) в физике

В теоретической физике S-дуальность (сокращение от сильной-слабой дуальности, или дуальности Сена) — это эквивалентность двух физических теорий, которые могут быть как квантовыми теориями поля, так и теориями струн. S-дуальность полезна для проведения вычислений в теоретической физике, поскольку она связывает теорию, в которой вычисления сложны, с теорией, в которой они проще. В квантовой теории поля S-дуальность обобщает хорошо известный факт из классической электродинамики, а именно инвариантность уравнений Максвелла при взаимозамене электрических и магнитных полей. Одним из самых ранних известных примеров S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Монтонена — Оливе, которая связывает две версии квантовой теории поля, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса. Недавние работы Антона Капустина и Эдварда Виттена предполагают, что дуальность Монтонена — Оливе тесно связана с исследовательской программой в математике, называемой геометрической программой Лэнглендса. Другой реализацией S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Зайберга, которая связывает две версии теории, называемой N=1 суперсимметричной теорией Янга — Миллса. Существует также множество примеров S-дуальности в теории струн. Существование этих струнных дуальностей подразумевает, что, казалось бы, различные формулировки теории струн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять непротиворечивых теорий суперструн являются просто различными предельными случаями единой одиннадцатимерной теории, называемой M-теорией.

Обзор

В квантовой теории поля и теории струн константа сцепления — это число, которое контролирует силу взаимодействий в теории. Например, сила гравитации описывается числом, называемым гравитационной постоянной Ньютона, которое входит в закон всемирного тяготения Ньютона, а также в уравнения общей теории относительности Эйнштейна. Аналогично, сила электромагнитного взаимодействия описывается константой сцепления, связанной с зарядом, переносимым одним протоном. Для вычисления наблюдаемых величин в квантовой теории поля или теории струн физики обычно применяют методы теории возмущений. В теории возмущений величины, называемые амплитудами вероятности, которые определяют вероятность возникновения различных физических процессов, выражаются как суммы бесконечного числа членов, где каждый член пропорционален степени константы сцепления.

Чтобы такое выражение имело смысл, константа сцепления должна быть меньше 1, чтобы более высокие степени стали пренебрежимо малыми, а сумма была конечной. Если константа сцепления не меньше 1, то члены этой суммы будут неограниченно возрастать, и выражение даст бессмысленный бесконечный результат. В этом случае говорят, что теория сильно связана, и теорию возмущений нельзя использовать для предсказаний. Для некоторых теорий S-двойственность предоставляет способ проведения вычислений при сильном сцеплении, переводя их в эквивалентные вычисления в теории со слабым сцеплением. S-двойственность — это конкретный пример общего понятия двойственности в физике. Термин «двойственность» относится к ситуации, когда две, казалось бы, различные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно преобразовать таким образом, чтобы она стала идентичной другой. Тогда говорят, что две теории двойственны друг другу относительно этого преобразования. Иными словами, две теории представляют собой математически различные описания одного и того же явления. S-двойственность полезна, поскольку она связывает теорию с константой сцепления с эквивалентной теорией с константой сцепления. Таким образом, она связывает теорию с сильным сцеплением (где константа сцепления намного больше 1) с теорией со слабым сцеплением (где константа сцепления намного меньше 1 и возможны вычисления). По этой причине S-двойственность называют двойственностью «сильное-слабое».

Двойственность Монтонен-Оливковые

В квантовой теории поля электрическое и магнитное поля объединяются в единое целое, называемое электромагнитным полем, и это поле описывается специальным типом квантовой теории поля, называемой калибровочной теорией или теорией Янга — Миллса. В калибровочной теории физические поля обладают высокой степенью симметрии, которую можно математически понять, используя понятие группы Ли. Эта группа Ли известна как группа калибровки. Электромагнитное поле описывается очень простой калибровочной теорией, соответствующей абелевой группе калибровки U(1), но существуют и другие калибровочные теории с более сложными неабелевыми группами калибровки. Естественно задаться вопросом, существует ли аналог в калибровочной теории симметрии, взаимозаменяющей электрические и магнитные поля в уравнениях Максвелла. Ответ был дан в конце 1970-х годов Клаусом Монтоненом и Дэвидом Оливом, опираясь на более ранние работы Питера Годдарда, Жана Нюйца и Оливы. Их работа предоставляет пример S-дуальности, теперь известной как дуальность Монтонена — Оливы. Дуальность Монтонена — Оливы применима к очень специальному типу калибровочной теории, называемой N = 4 сверхсимметричной теорией Янга — Миллса, и она утверждает, что две такие теории могут быть эквивалентны в определенном точном смысле. Важной величиной в квантовой теории поля является комплексированная константа связи. Это комплексное число, определяемое формулой

где θ — угол тета, величина, появляющаяся в лагранжиане, определяющем теорию. Соответствие Лэнгландса, сформулированное Робертом Лэнгландсом в конце 1960-х годов, связано с важными гипотезами в теории чисел, такими как гипотеза Таниямы — Симуры, которая включает в себя последнюю теорему Ферма как частный случай. Начиная с двух теорий Янга — Миллса, связанных S-дуальностью, Капустин и Виттен показали, что можно построить пару квантовых теорий поля в двухмерном пространстве-времени. Анализируя, как это понижение размерности влияет на определенные физические объекты, называемые D-бранами, они показали, что можно восстановить математические компоненты геометрического соответствия Лэнгландса. Их работа показывает, что соответствие Лэнгландса тесно связано с S-дуальностью в квантовой теории поля, с возможными приложениями в обеих областях. В отличие от дуальности Монтонена — Оливы, которая связывает две версии максимально сверхсимметричной калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени, дуальность Зайберга связывает менее симметричные теории, называемые N = 1 сверхсимметричными калибровочными теориями. Две N = 1 теории, возникающие в дуальности Зайберга, не идентичны, но они приводят к одной и той же физике на больших расстояниях. Как и дуальность Монтонена — Оливы, дуальность Зайберга обобщает симметрию уравнений Максвелла, которая взаимозаменяет электрические и магнитные поля.

В теории струн

До середины 1990-х годов физики, работающие над теорией струн, считали, что существует пять различных версий теории: тип I, тип IIA, тип IIB и два варианта гетеротической теории струн (SO(32) и E8×E8). Различные теории допускают различные типы струн, и частицы, возникающие при низких энергиях, демонстрируют различные симметрии. В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны между собой весьма нетривиальными двойственностями. Одной из этих двойственностей является S-дуальность. Существование S-дуальности в теории струн впервые было предложено Ашоке Сеном в 1994 году. Было показано, что теория струн типа IIB с константой связи g эквивалентна посредством S-дуальности той же теории струн с константой связи 1/g. Аналогично, теория струн типа I с константой связи g эквивалентна гетеротической теории струн SO(32) с константой связи 1/g. Существование этих двойственностей показало, что пять теорий струн на самом деле не являлись полностью различными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий являются просто различными пределами единой теории, теперь известной как M-теория. Предложение Виттена было основано на наблюдении, что гетеротические теории струн типа IIA и E8×E8 тесно связаны с гравитационной теорией, называемой одиннадцатимерной супергравитацией. Его заявление привело к всплеску исследований, известному как вторая суперструнная революция.