Кіріспе

Физикадағы топологиялық эффектілерді қамтитын өріс теориясы

Гаузерлік теорияда және математикалық физикада топологиялық кванттық өріс теориясы (немесе топологиялық өріс теориясы немесе TQFT) – топологиялық инварианттарды есептейтін кванттық өріс теориясы. ТКФТ физиктер тарапынан ойлап табылғанмен, олар математикалық тұрғыдан да қызығушылық тудырады, түйін теориясы, алгебралық топологиядағы төрттік көптүрліліктер теориясы және алгебралық геометриядағы модульдік кеңістіктер теориясы сияқты салалармен байланысты. Дональдсон, Джонс, Виттен және Концевич топологиялық өріс теориясына қатысты математикалық еңбектері үшін Филдс медальдарын жеңіп алды. Конденсацияланған материя физикасында топологиялық кванттық өріс теориясы – фракциялық кванттық Холл күйлері, жіптік торлы конденсацияланған күйлер және басқа да күшті корреляциялық кванттық сұйық күйлер сияқты топологиялық реттелген күйлердің төмен энергиядағы тиімді теориялары болып табылады.

Шолу

Топологиялық өріс теориясында корреляциялық функциялар кеңістік-уақыт метрикасына тәуелді емес. Бұл теорияның кеңістік-уақыт пішінінің өзгеруіне сезімтал емес екенін білдіреді; егер кеңістік-уақыт қисайып немесе жиырылса, корреляциялық функциялар өзгермейді. Осының салдарынан, олар топологиялық инварианттар болып табылады. Бөлшектер физикасында қолданылатын жазық Минковский кеңістігі-уақытында топологиялық өріс теориясы аса қызықты емес. Минковский кеңістігін нүктеге дейін қысқартуға болады, сондықтан Минковский кеңістігіне қолданылған TQFT тривиальды топологиялық инварианттарды тудырады. Осы себепті, TQFT әдетте қисайыңқы кеңістік-уақыттарға, мысалы, Риман беттеріне қолданылады. Белгілі топологиялық өріс теорияларының көпшілігі бес өлшемнен кем уақыттарда анықталған. Жоғары өлшемді теориялардың да болуы мүмкін, бірақ олар толыққанды түсінілмеген. Кванттық гравитация фонға тәуелсіз (біраз сәйкес мағынада) деп есептеледі, ал TQFT фонға тәуелсіз кванттық өріс теорияларының мысалдарын ұсынады. Бұл модельдер класына қатысты теориялық зерттеулерді жалғастыруға түрткі болды. (Ескерту: TQFT-дегі еркіндік дәрежесінің саны шектеулі деп жиі айтылады. Бұл фундаментальды қасиет емес. Бұл физиктер мен математиктер зерттейтін көптеген мысалдарда дұрыс болғанымен, қажетті шарт емес. Топологиялық сигма моделі шексіз өлшемді проекциялық кеңістікке бағытталған, және егер мұндай нәрсені анықтау мүмкін болса, онда ол санауға келмейтін көптеген еркіндік дәрежесіне ие болады.)

Ерекше үлгілер

Белгілі топологиялық өріс теориялары екі негізгі классқа бөлінеді: Шварц типіндегі TQFT және Виттен типіндегі TQFT. Виттен TQFT кейде кохомологиялық өріс теориясы деп те аталады. Қараңыз.

Шварц типті TQFT

Шварц типті TQFT-де жүйедегі корреляциялық функциялар немесе бөлшек функциялары метрикаға тәуелсіз әрекет функционалдарының жол интегралы арқылы есептеледі. Мысалы, BF модельінде кеңістік-уақыт екі өлшемді манифольд M болып табылады, байқалатын шамалар екі формалы F, қосалқы скалярлық B және олардың туындыларынан құралады. Әрекет (жол интегралын анықтайтын) – кеңістік-уақыт метрикасы теорияда ешқайда қолданылмайды, сондықтан теория топологиялық түрде өзгермейді. Алғашқы мысал 1977 жылы А. Шварц еңбегінде пайда болды; оның әрекет функционалы: Тағы бір белгілі мысал – түйін инварианттарына қолданылатын Черн-Саймонс теориясы. Жалпы, бөлшек функциялары метрикаға тәуелді болады, бірақ жоғарыдағы мысалдар метрикаға тәуелсіз.

Физикамен байланысы

Физикалық тұрғыдан (2) + (4) релятивистік инварианттылықпен байланысты, ал (3) + (5) теорияның кванттық сипатын көрсетеді. Σ физикалық кеңістікті (әдетте, d = 3 стандартты физика үшін) және Σ × I-дегі қосымша өлшемді "көкдел уақыт" деп көрсетеді. Z(Σ) кеңістігі кванттық теорияның Гильберт кеңістігі болып табылады және физикалық теорияда, Гамильтониан H-мен, уақыт эволюциясы операторы e<sup>itH</sup> немесе "көкдел уақыт" операторы e<sup>-tH</sup> болады. Топологиялық Кванттық Дала Теориясының (QFT) басты ерекшелігі - H = 0, бұл цилиндр бойымен Σ × I бойынша нақты динамика немесе таралудың болмауын білдіреді. Дегенмен, аралық манифольд M арқылы Σ<sub>0</sub>-дан Σ<sub>1</sub>-ге тривиальды емес "таралу" (немесе туннельдік амплитудалар) болуы мүмкін; бұл M-нің топологиясын көрсетеді.

Егер ∂M = Σ болса, онда Гильберт кеңістігіндегі Z(Σ) ерекшеленген вектор Z(M) M-мен анықталған вакуумдық күй ретінде қарастырылады. Жабық манифольд M үшін Z(M саны вакуумдық күтілім мәні болып табылады. Статистикалық механикамен салыстырғанда, бұл бөліс функциясы деп те аталады. Гамильтонианы нөлге тең теорияның дұрыс тұжырымдалу себебі, Кванттық Дала Теориясына (QFT) Фейнманның жол интегралы тәсілінде жатыр. Бұл релятивистік инварианттылықты (жалпы (d + 1) өлшемді "кеңістік-уақыттарға" қатысты) қамтиды және теория классикалық өрістердің функционалы болып табылатын Лагранжиан арқылы формальды түрде анықталады. Уақыт бойынша тек бірінші туындыларды қамтитын Лагранжиан формальды түрде нөлдік Гамильтонианға әкеледі, бірақ Лагранжианның өзі M топологиясына қатысты тривиальды емес ерекшеліктерге ие болуы мүмкін.

Атияның үлгілері

1988 жылы М. Атиях сол кезде зерттелген топологиялық кванттық өріс теориясының көптеген жаңа мысалдарын сипаттаған мақала жариялады. Онда Кассон инварианты, Дональдсон инварианты, Громовтың теориясы, Флор гомологиясы және Джонс-Уиттен теориясы сияқты жаңа топологиялық инварианттар мен жаңа идеялар келтірілген.

d = 0

Бұл жағдайда Σ шекті сандағы нүктелерден тұрады. Жеке нүктеге V = Z(нүкте) векторлық кеңістігін, ал n нүктеге n есе тензорлық көбейтіндіні байланыстырамыз: V⊗n = V ⊗ ⊗ V. Симметриялық топ Sn, V⊗n-ге әсер етеді. Кванттық Гильберт кеңістігін алудың стандартты жолы – классикалық симплектикалық манифольдтан (немесе фазалық кеңістіктен) бастап, оны кванттау. Sn-ді компактты Lie тобы G-ге кеңейтіп, симплектикалық құрылымы түзу шоғырдан (line bundle) туындайтын "интегралданатын" орбиталарды қарастырайық, содан кейін кванттау G-нің V-нің ирредуктибелдік бейнелеулеріне (irreducible representations) әкеледі. Бұл Борель-Вейл теоремасының немесе Борель-Вейл-Ботт теоремасының физикалық интерпретациясы. Бұл теориялардың Лагранжианы – классикалық әрекет (түзу шоғырдың голономиясы). Осылайша, d = 0-мен топологиялық КФТ (QFT) Lie топтарының және симметрия тобының классикалық бейнелеу теориясымен табиғи түрде байланысты.

d = 1

Біз X компактты симплектикалық көптіктегі жабық циклдар арқылы берілген мерзімді шектік жағдайларды қарастыруымыз керек. Голономиямен бірге, d = 0 жағдайында лагранждық ретінде пайдаланылатын осындай циклдар Гамильтониялықты өзгерту үшін қолданылады. Жабық M беті үшін теорияның инварианты Z(M) – бұл Громов мағынасындағы f: M → X псевдоголоморфтық карталардың саны (егер X – Кэхлер көптүлігі болса, олар қарапайым голоморфтық карталар). Егер бұл сан шексіз болса, яғни «модульдер» болса, онда біз M-ге қосымша деректерді бекітуіміз керек. Бұл кейбір Pi нүктелерін таңдау арқылы жасалуы мүмкін, содан кейін f: M → X голоморфтық карталарын қарастырып, f(Pi) бекітілген гипержазықтықта жатуы керек. Осы теорияға қатысты лагранждықты белгілі бір автор жазды. Флор қатаң түрде қарастырды, яғни Виттеннің Морзе теориясы идеяларына негізделген Флор гомологиясын; егер шектік жағдайлар аралықта болса, мерзімдік емес, онда жолдың бастапқы және соңғы нүктелері екі тұрақты Лагранж субкөптүрлігінде жатады. Бұл теория Громов-Виттен инварианттары теориясы ретінде дамыды. Тағы бір мысал – Голоморфты конформды өріс теориясы. Бұл сол кезде қатаң түрде топологиялық кванттық өріс теориясы деп есептелмеген болуы мүмкін, өйткені Гильберт кеңістіктері шексіз өлшемді. Конформды өріс теориялары сонымен қатар классикалық фазасы цикл тобының орталық кеңейтуінен (LG) тұратын компактты Лай тобы G-мен байланысты. Оларды кванттау LG-ның ирредуктивті (проективті) бейнелеулер теориясының Гильберт кеңістіктерін тудырады. Diff+(S1) тобы симметриялық топты алмастырады және маңызды рөл атқарады. Нәтижесінде, мұндай теориялардағы бөліну функциясы күрделі құрылымға тәуелді, сондықтан ол таза топологиялық емес.

d = 2

Бұл жағдайда Джонс-Уиттен теориясы ең маңызды теория болып табылады. Мұнда жабық бет Σ-мен байланысты классикалық фазалық кеңістік, Σ үстіндегі жазық G бундельдің модульдік кеңістігі болып табылады. Лагранж функциясы – 3-өлшемді G байланысының Черн-Саймонс функциясының бүтін сандық еселігі (оны "рамдау" қажет). K деңгейі деп аталатын бүтін сандық еселік, теорияның параметрі болып табылады және k → ∞ классикалық лимит береді. Бұл теорияны d = 0 теориясымен табиғи түрде біріктіріп, "туынды" теория жасауға болады. Виттен бұл туралы сипаттап, 3 сферадағы (рамдалған) байланыс үшін бөлу функциясы, бірліктің сәйкес түбірі үшін Джонс полиномиалының мәнімен тең екенін көрсетті. Теорияны тиісті циклотомиялық өрісте анықтауға болады, қараңыз. Шегі бар Риман бетін қарастыра отырып, d = 2 теориясын d = 0 теориясына қосудың орнына, оны d = 1 конформальдық теориямен біріктіруге болады. Осыдан Джонс-Уиттен теориясы пайда болды және түйін теориясы мен кванттық өріс теориясы арасындағы терең байланыстарды ашуға әкелді.

d = 3

Дональдсон тегіс 4-көптүрліліктердің бүтін инвариантын SU(2) инстантондарының модульдік кеңістіктерін қолдану арқылы анықтады. Бұл инварианттар екінші гомология бойынша көпмүшелер болып табылады. Осылайша, 4-көптүрліліктерде H2 симметриялық алгебрасынан тұратын қосымша деректер болуы керек. Ол сондай-ақ Дональдсон теориясын формальды түрде қайта жасайтын суперсимметриялық Лагранж теориясын жасады. Виттен формуласын Гаусс-Бонне теоремасының шексіз өлшемді аналогы ретінде қарастыруға болады. Кейінірек бұл теория одан әрі дамытылып, SU(2) өлшемді N = 2, d = 4 өлшемді теорияда U(1) өлшеміне дейін төмендетілген Сейберг-Виттен калибрлеу теориясына айналды. Флор теорияның Гамильтондық нұсқасын 3-көптүрліліктегі байланыстар кеңістігі арқылы әзірледі. Флор Хэммильтондық функцияны өзгерту үшін Джонс-Уиттен теориясының Лагранжианы болып табылатын Черн-Саймонс функциясын қолданады. Толығырақ ақпарат алу үшін, ол d = 3 және d = 1 теорияларын қалай байланыстыруға болатынын көрсетті: бұл Джонс-Уиттен теориясындағы d = 2 және d = 0 арасындағы байланысқа өте ұқсас. Қазіргі таңдағы топологиялық өріс теориясы бір белгілі өлшемде емес, барлық өлшемдерде бір уақытта әрекет ететін функтор ретінде қарастырылады.

Белгілі бір уақыт-кеңістік жағдайы

BordM – морфизмдері M-нің n өлшемді субкөптүрлілері және объектілері осындай субкөптүрлілердің шекараларының байланысқан компоненттері болатын категория болсын. Егер олар M-нің субкөптүрлілері арқылы гомотопиялық болса, екі морфизмді эквивалентті деп есептеңіз және hBordM квотиенттік категориясын құраңыз: hBordM-дегі объектілер BordM-нің объектілері, ал hBordM морфизмдері BordM-дегі морфизмдердің гомотопиялық эквиваленттік кластары болып табылады. M-дегі TQFT – hBordM-ден векторлық кеңістіктер категориясына симметриялық моноиділ функтор. Егер олардың шекаралары сәйкес келсе, кобордизмдерді жаңа кобордизм құру үшін тігіп біріктіруге болады. Бұл кобордизм категориясындағы морфизмдердің композиция заңы. Функторлар композицияны сақтауға міндетті болғандықтан, бұл тігілген морфизмге сәйкес келетін сызықтық түрлендіру әр бөліктің сызықтық түрлендіруінің композициясына тең дегенді білдіреді. 2 өлшемді топологиялық кванттық өріс теориялары мен коммутативті Фробен алгебраларының категориялары эквивалентті.

Барлық n-өлшемді кеңістік-уақыт бірден

Барлық кеңістік-уақыттарды бірден қарастыру үшін hBordM-ді үлкен категориямен алмастыру қажет. Сондықтан Bordn – бордзмдер категориясы, яғни морфизмдері шекарасы бар n өлшемді манифольдтар, ал объектілері – n өлшемді манифольдтар шекараларының байланысқан компоненттері. (Ескеріңіз, кез келген (n-1) өлшемді манифольд Bordn-да объект ретінде пайда болуы мүмкін.) Жоғарыда айтылғандай, егер олар гомотопты болса, Bordn-дағы екі морфизм эквивалентті деп есептеледі және hBordn quotient категориясы құралады. Bordn – екі бордзмді олардың ажыратылған біріктірілісінен жасалған бордзмге бейнелейтін операция бойынша моноидтік категория. n өлшемді манифольдтардағы TQFT – hBordn-нен векторлық кеңістіктер категориясына дейінгі функтор, ол бордзмдердің ажыратылған біріктірілісін олардың тензорлық көбейтіндісіне бейнелейді. Мысалы, (1+1) өлшемді бордзмдер үшін (1 өлшемді манифольдтар арасындағы 2 өлшемді бордзмдер), шалбарға сәйкес келетін бейнелеу, шекара компоненттерінің топталуына байланысты, көбейту немесе кобейту береді – бұл коммутативті немесе кокоммутативті, ал дискке сәйкес келетін бейнелеу шекара компоненттерінің топталуына байланысты коунитті (из) немесе бірлікті (скалярларды) береді, сондықтан (1+1) өлшемді TQFT-лер Фробениус алгебраларына сәйкес келеді. Бұдан әрі, біз жоғарыда аталған бордзмдермен байланысты 4 өлшемді, 3 өлшемді және 2 өлшемді манифольдтарды бір мезгілде қарастыра аламыз және олардан кең және маңызды мысалдар алуға болады.

Кейінгі дамуы

Топологиялық кванттық өріс теориясының дамуын қарастыра отырып, оның Сейберг-Виттен өлшегіш теориясы, топологиялық жол теориясы, түйін теориясы мен кванттық өріс теориясы арасындағы байланыс, сондай-ақ кванттық түйін инварианттарына қатысты көптеген қолданыстарын қарастыру қажет. Бұдан әрі, ол математика және физика салаларында зор қызығушылық тудырды. Сонымен қатар, ТКӨТ-дағы жергілікті емес операторлар да маңызды зерттеу тақырыбы болып табылады. Егер жол теориясы фундаменталды деп есептелсе, онда жергілікті емес ТКӨТ-ларды жергілікті жол теориясына есептеу арқылы тиімді жақындасуды қамтамасыз ететін физикалық емес модельдер ретінде қарастыруға болады.

Виттен үлгісіндегі TQFT және динамикалық жүйелер

Стохастикалық (ішінара) дифференциалдық теңдеулер (ІДЕ) кванттық дегенерация және когеренттілік деңгейінен жоғары табиғаттағы барлық құбылыстардың модельдеріне негіз болып табылады және мәні бойынша Виттен түріндегі TQFT-лер болып табылады. Барлық ІДЕ топологиялық немесе BRST суперсимметриясына ие, ал стохастикалық динамиканың операторлық өрнектемесінде сыртқы туынды оператор стохастикалық эволюция операторымен коммутативті болып келеді. Бұл суперсимметрия фазалық кеңістіктің үздіксіз ағындар арқылы үздіксіздігін сақтайды, ал суперсимметриялық спонтандық бұзылу құбылысы, жаһандық суперсимметриялық емес негізгі күй арқылы, хаос, турбуленттілік, 1/f шуы, сыңғырлау шуы, өзін-өзі ұйымдастырушы сындылық сияқты белгілі физикалық түсініктерді қамтиды. Кез келген ІДЕ үшін теорияның топологиялық секторы Виттен түріндегі TQFT ретінде анықталады.