Введение

Теория поля с топологическими эффектами в физике

В теории калибровочных полей и математической физике топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля, или TQFT) — это квантовая теория поля, вычисляющая топологические инварианты. Хотя TQFT были разработаны физиками, они также представляют интерес для математиков, будучи связанными, в частности, с теорией узлов и теорией четырёх многообразий в алгебраической топологии, а также с теорией пространств модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон, Джонс, Виттен и Концевич были удостоены медалей Филдса за математические работы, связанные с топологической теорией поля. В физике конденсированного состояния топологические квантовые теории поля являются низкоэнергетическими эффективными теориями топологически упорядоченных состояний, таких как дробный квантовый эффект Холла, конденсированные состояния струнных сеток и другие сильнокоррелированные квантовые жидкие состояния.

Обзор

В топологической теории поля корреляционные функции не зависят от метрики пространства-времени. Это означает, что теория нечувствительна к изменениям геометрии пространства-времени; если пространство-время искривляется или сжимается, корреляционные функции не изменяются. Следовательно, они являются топологическими инвариантами. Топологические теории поля не представляют большого интереса в плоском пространстве-времени Минковского, используемом в физике частиц. Пространство Минковского можно сжать в точку, поэтому применение TQFT к пространству Минковского приводит к тривиальным топологическим инвариантам. Следовательно, TQFT обычно применяются к искривленным пространствам-времени, таким как, например, поверхности Римана. Большинство известных топологических теорий поля определены на пространствах-времени размерности менее пяти. Кажется, что существуют несколько теорий более высокой размерности, но они недостаточно хорошо изучены. Считается, что квантовая гравитация является фононезависимой (в некотором подходящем смысле), и TQFT предоставляют примеры фононезависимых квантовых теорий поля. Это стимулировало продолжающиеся теоретические исследования этого класса моделей. (Предупреждение: часто утверждается, что TQFT имеют лишь конечное число степеней свободы. Это не фундаментальное свойство. Это справедливо для большинства примеров, изучаемых физиками и математиками, но не является необходимым условием. Топологическая сигма-модель нацелена на бесконечномерное проективное пространство, и если бы такую модель удалось определить, она имела бы счетно бесконечное число степеней свободы.)

Специфические модели

Известные топологические теории поля делятся на два основных класса: TQFT типа Шварца и TQFT типа Виттена. TQFT типа Виттена также иногда называют кохомологическими теориями поля. См. далее.

ТКФТ типа Шварца

В TQFT типа Шварца корреляционные функции или функции разделения системы вычисляются с помощью интеграла по траекториям от функционалов действия, не зависящих от метрики. Например, в модели BF пространство-время является двумерным многообразием M, а наблюдаемые строятся из двухформ F, вспомогательного скаляра B и их производных. Действие (определяющее интеграл по траекториям) равно

Метрика пространства-времени нигде не появляется в теории, поэтому теория явно топологически инвариантна. Первый пример появился в 1977 году и принадлежит А. Шварцу; его функционал действия:

Другой, более известный пример – теория Черна-Симонса, которая может быть применена к инвариантам узлов. В общем случае функции разделения зависят от метрики, но вышеупомянутые примеры не зависят от метрики.

Отношение к физике

Физически (2) + (4) связаны с релятивистской инвариантностью, а (3) + (5) указывают на квантовую природу теории. Σ обозначает физическое пространство (обычно d = 3 для стандартной физики), а дополнительное измерение в Σ × I – "мнимое" время. Пространство Z(Σ) является гильбертовым пространством квантовой теории, и физическая теория с гамильтонианом H будет иметь оператор временной эволюции e^(itH) или оператор "мнимаго времени" e^(-tH). Основная особенность топологических КФТ заключается в том, что H = 0, что подразумевает отсутствие реальной динамики или распространения вдоль цилиндра Σ × I. Однако возможно нетривиальное "распространение" (или амплитуды туннелирования) от Σ0 к Σ1 через промежуточное многообразие M с ; это отражает топологию M. Если ∂M = Σ, то выделенный вектор Z(M) в гильбертовом пространстве Z(Σ) рассматривается как вакуумное состояние, определяемое M. Для замкнутого многообразия M число Z(M) является вакуумным средним значением. По аналогии со статистической механикой оно также называется функцией распределения. Причина, по которой теория с нулевым гамильтонианом может быть осмысленно сформулирована, заключается в формализме интеграла по траекториям Фейнмана в КФТ. Этот формализм включает релятивистскую инвариантность (которая применима к общему (d + 1)-мерному "пространству-времени") и теория формально определяется подходящим лагранжианом – функционалом классических полей теории. Лагранжиан, включающий только первые производные по времени, формально приводит к нулевому гамильтониану, но сам лагранжиан может обладать нетривиальными свойствами, связанными с топологией M.

Примеры Атия

В 1988 году М. Атия опубликовал статью, в которой он описал множество новых примеров топологической квантовой теории поля, активно изучавшихся в то время. В статье представлены новые топологические инварианты и новые идеи, такие как инвариант Кассона, инвариант Дональдсона, теория Громова, гомология Флоэра и теория Джонса — Уиттена.

d = 0

В этом случае Σ состоит из конечного числа точек. Одной точке мы сопоставляем векторное пространство V = Z(точка), а n точкам – n-кратное тензорное произведение: V⊗n = V ⊗ ⊗ V. Симметричная группа Sn действует на V⊗n. Стандартный способ получения квантового гильбертова пространства – начать с классического симплектического многообразия (или фазового пространства) и затем квантовать его. Расширим Sn до компактной группы Ли G и рассмотрим "интегрируемые" орбиты, для которых симплектическая структура происходит из прямого пучка, тогда квантование приводит к неприводимым представлениям V группы G. Это физическая интерпретация теоремы Бореля — Вейля или теоремы Бореля — Вейля — Ботта. Лагранжиан этих теорий – классическое действие (голономия прямого пучка). Таким образом, топологические КФТ с d = 0 естественно связаны с классической теорией представлений групп Ли и группой симметрии.

d = 1

Мы должны рассмотреть периодические граничные условия, заданные замкнутыми петлями в компактном симплектическом многообразии X. Наряду с голономией, такие петли, как используемые в случае d = 0 в качестве лагранжиана, затем используются для модификации гамильтониана. Для замкнутой поверхности M инвариант Z(M) теории – это число псевдоголоморфных отображений f : M → X в смысле Громова (они являются обычными голоморфными отображениями, если X является многообразием Кэлера). Если это число становится бесконечным, то есть если существуют "модули", то мы должны фиксировать дополнительные данные на M. Это можно сделать, выбрав некоторые точки Pi, а затем рассматривая голоморфные отображения f : M → X с ограничением на то, чтобы f(Pi) лежали на фиксированной гиперплоскости. Соответствующий лагранжиан для этой теории был записан. Флор дал строгое обоснование, то есть гомологию Флор, основанное на идеях теории Морзе Виттена; для случая, когда граничные условия заданы на интервале, а не являются периодическими, начальные и конечные точки пути лежат на двух фиксированных лагранжевых подмногообразиях. Эта теория была развита как инвариантная теория Громова-Уиттена. Другим примером является Голоморфная конформная теория поля. Возможно, в то время это не считалось строго топологической квантовой теорией поля, поскольку гильбертовы пространства бесконечномерны. Конформные теории поля также связаны с компактной группой Ли G, в которой классическая фаза состоит из центрального расширения группы петель (LG). Квантование этих дает гильбертовы пространства теории неприводимых (проективных) представлений LG. Группа Diff+(S1) теперь заменяет симметрическую группу и играет важную роль. В результате функция раздела в таких теориях зависит от комплексной структуры и, следовательно, не является чисто топологической.

d = 2

Теория Джонса-Уиттена является наиболее важной теорией в данном случае. Здесь классическое фазовое пространство, ассоциированное с замкнутой поверхностью Σ, представляет собой модульное пространство плоского G-расслоения над Σ. Лагранжиан является целым кратным функции Черна-Саймонса G-связности на трехмерном многообразии (которое должно быть "с рамкой"). Целое кратное k, называемое уровнем, является параметром теории, и k → ∞ соответствует классическому пределу. Эту теорию можно естественным образом объединить с d = 0 теорией для получения "относительной" теории. Подробности были описаны Виттеном, который показал, что функция партиции для (связанного с рамкой) узла в трехмерной сфере равна значению полинома Джонса для подходящего корня из единицы. Теория может быть определена над соответствующим циклотомическим полем, см. Рассматривая поверхность Римана с границей, можно объединить ее с d = 1 конформной теорией вместо объединения d = 2 теории с d = 0 теорией. Это развитие привело к теории Джонса-Уиттена и открытию глубоких связей между теорией узлов и квантовой теорией поля.

d = 3

Дональдсон определил целочисленные инварианты гладких 4-многообразий, используя пространства модулей инстантонов SU(2). Эти инварианты являются полиномами по второй когомологии. Таким образом, 4-многообразия должны обладать дополнительными данными, состоящими из симметричной алгебры H2. был получен суперсимметричный лагранжиан, который формально воспроизводит теорию Дональдсона. Формула Виттена может быть интерпретирована как аналог теоремы Гаусса — Бонне в бесконечномерном случае. Позднее эта теория была развита и стала калибровочной теорией Зейберга — Виттена, которая сводит SU(2) к U(1) в калибровочной теории N = 2, d = 4. Гамильтонова версия теории была разработана Флоэром в терминах пространства связностей на 3-многообразии. Флоэр использует функцию Черна — Саймонса, которая является лагранжианом теории Джонса — Виттена, для модификации гамильтониана. Подробности см. также показал, как можно объединить теории d = 3 и d = 1: это весьма аналогично объединению d = 2 и d = 0 в теории Джонса — Виттена. В настоящее время топологическая теория поля рассматривается как функтор, действующий не на фиксированной размерности, а на всех размерностях одновременно.

Случай с фиксированным пространством-времени

Пусть BordM – категория, морфизмами которой являются n-мерные подмногообразия M, а объектами – связными компонентами границ этих подмногообразий. Два морфизма считаются эквивалентными, если они гомотопны через подмногообразия M, что определяет факторкатегорию hBordM. Объекты в hBordM совпадают с объектами BordM, а морфизмы hBordM – это классы гомотопической эквивалентности морфизмов в BordM. TQFT на M – это симметричный моноидальный функтор из hBordM в категорию векторных пространств. Следует отметить, что кобордизмы, при совпадении их границ, можно сшивать вместе для получения нового кобордизма. Это и есть закон композиции морфизмов в категории кобордизмов. Поскольку функторы должны сохранять композицию, это означает, что линейное отображение, соответствующее сшитому морфизму, является просто композицией линейных отображений для каждой составляющей части. Существует эквивалентность категорий между категорией 2-мерных топологических квантовых теорий поля и категорией коммутативных алгебр Фробениуса.

Все n-мерные пространства-времени сразу

Чтобы рассмотреть все пространства-времени одновременно, необходимо заменить hBordM более широкой категорией. Пусть Bordn – это категория бордизмов, то есть категория, чьи морфизмы являются n-мерными многообразиями с границей, а объекты – связными компонентами границ n-мерных многообразий. (Обратите внимание, что любое (n-1)-мерное многообразие может выступать в качестве объекта в Bordn.) Как и ранее, будем считать два морфизма в Bordn эквивалентными, если они гомотопны, и сформируем фактор-категорию hBordn. Bordn является моноидальной категорией относительно операции, которая сопоставляет два бордизма бордизму, полученному из их непересекающегося объединения. Тогда TQFT на n-мерных многообразиях – это функтор из hBordn в категорию векторных пространств, который отображает непересекающиеся объединения бордизмов в их тензорное произведение. Например, для (1+1)-мерных бордизмов (2-мерных бордизмов между 1-мерными многообразиями) отображение, связанное с парой штанов, дает произведение или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты – которое является коммутативным или кокоммутативным, а отображение, связанное с диском, дает коединицу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки граничных компонентов, и, следовательно, (1+1)-мерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса. Более того, мы можем одновременно рассматривать 4-мерные, 3-мерные и 2-мерные многообразия, связанные вышеуказанными бордизмами, и из них мы можем получить множество важных примеров.

Развитие в более позднем времени

Рассматривая развитие топологической квантовой теории поля, следует учитывать ее многочисленные применения к теории калибровочных полей Зайберга — Виттена, топологической теории струн, связи между теорией узлов и квантовой теорией поля, а также квантовым инвариантам узлов. Более того, она породила темы, представляющие значительный интерес как в математике, так и в физике. Особый интерес в последнее время также представляют нелокальные операторы в TQFT. Если рассматривать теорию струн как фундаментальную, то нелокальные TQFT можно рассматривать как нефизические модели, предоставляющие вычислительно эффективное приближение к локальной теории струн.

TQFT и динамические системы типа Witten

Стохастические (частичные) дифференциальные уравнения (СДУ) лежат в основе моделей всего в природе, начиная с масштабов, превышающих квантовую вырожденность и когерентность, и по сути представляют собой TQFT типа Виттена. Все СДУ обладают топологической или BRST суперсимметрией, а в операторном представлении стохастической динамики внешняя производная коммутирует с оператором стохастической эволюции. Эта суперсимметрия сохраняет непрерывность фазового пространства посредством непрерывных потоков, а явление суперсимметричного спонтанного нарушения симметрии глобальным несуперсимметричным основным состоянием охватывает такие устоявшиеся физические концепции, как хаос, турбулентность, шум 1/f и трескучий шум, самоорганизованная критичность и т.д. Топологический сектор теории для любого СДУ можно идентифицировать как TQFT типа Виттена.