Топологические группы и непрерывные действия групп

Введение

Группа, являющаяся топологическим пространством с непрерывным групповым действием.

В математике топологические группы представляют собой сочетание групп и топологических пространств, то есть они одновременно являются группами и топологическими пространствами, причем условие непрерывности групповых операций связывает эти две структуры, вследствие чего они не являются независимыми друг от друга. Топологические группы интенсивно изучались в период с 1925 по 1940 год. Хаар и Вейль (соответственно в 1933 и 1940 годах) показали, что интегралы и ряды Фурье являются частными случаями очень широкого класса топологических групп. Топологические группы, вместе с непрерывными групповыми действиями, используются для изучения непрерывных симметрий, которые имеют множество применений, например, в физике. В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство является аддитивной топологической группой с дополнительным свойством непрерывности скалярного умножения; следовательно, многие результаты теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм топологических групп — это непрерывный групповой гомоморфизм G → H. Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию. Групповой гомоморфизм между топологическими группами непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке. Изоморфизм топологических групп — это групповой изоморфизм, являющийся также гомеоморфизмом базовых топологических пространств. Это более сильное требование, чем просто непрерывный групповой изоморфизм — непрерывной должна быть и обратная функция. Существуют примеры топологических групп, которые изоморфны как обычные группы, но не как топологические группы. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать её с дискретной топологией. Базовые группы одинаковы, но как топологические группы изоморфизма не существует.

Примеры

Каждую группу можно тривиально сделать топологической группой, рассматривая её с дискретной топологией; такие группы называются дискретными группами. В этом смысле теория топологических групп охватывает теорию обычных групп. Неразличимая топология (т. е. тривиальная топология) также делает каждую группу топологической группой. Реальные числа с обычной топологией образуют топологическую группу относительно сложения. Евклидово n-мерное пространство 𝔼ⁿ также является топологической группой относительно сложения, и в более общем случае каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Другими примерами абелевых топологических групп являются круговая группа S¹ или тор (S¹)^n для любого натурального числа n.

Классические группы являются важными примерами неабелевых топологических групп. Например, общую линейную группу GL(n, ℝ) всех обратимых n × n матриц с вещественными элементами можно рассматривать как топологическую группу с топологией, определяемой рассмотрением GL(n, ℝ) как подпространства евклидова пространства 𝔼^(n×n). Другая классическая группа — ортогональная группа O(n), группа всех линейных отображений из 𝔼ⁿ в себя, сохраняющих длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. Значительная часть евклидовой геометрии может рассматриваться как изучение структуры ортогональной группы или тесно связанной группы O(n) ⋉ 𝔼ⁿ изометрий 𝔼ⁿ. Все упомянутые до сих пор группы являются группами Ли, то есть они являются гладкими многообразиями, такими что операции группы гладкие, а не просто непрерывные. Группы Ли — наиболее хорошо изученные топологические группы; многие вопросы о группах Ли можно свести к чисто алгебраическим вопросам об алгебрах Ли, а затем решить. Примером топологической группы, не являющейся группой Ли, является аддитивная группа рациональных чисел с топологией, унаследованной от ℚ. Это счетное пространство, и оно не имеет дискретной топологии. Важным примером для теории чисел является группа p-адических целых чисел ℤₚ для простого числа p, что означает обратный предел конечных групп ℤ/pⁿ при n стремящемся к бесконечности. Группа ℤₚ хорошо себя ведёт в том смысле, что она компактна (фактически, гомеоморфна множеству Кантора), но отличается от (вещественных) групп Ли тем, что она совершенно несвязна. В более общем случае существует теория p-адических групп Ли, включающая компактные группы, такие как GL(n, ℤₚ), а также локально компактные группы, такие как GL(n, ℚₚ), где ℚₚ — локально компактное поле p-адических чисел. Группа ℤₚ является проконечной группой; она изоморфна подгруппе произведения ∏ᵢ ℤ/pⁿ в такой манере, что её топология индуцируется топологией произведения, где конечным группам ℤ/pⁿ даётся дискретная топология. Другим большим классом проконечных групп, важных в теории чисел, являются абсолютные группы Галуа. Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли; эта фраза лучше всего понимается неформально, чтобы включать в себя несколько различных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство, такое как пространство Банаха или пространство Гильберта, является абелевой топологической группой относительно сложения. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые изучались с разной степенью успеха, — это петлевые группы, группы Каца — Муди, группы диффеоморфизмов, группы гомеоморфизмов и группы калибровки. В каждой алгебре Банаха с мультипликативной единицей множество обратимых элементов образует топологическую группу относительно умножения. Например, группа обратимых ограниченных операторов на пространстве Гильберта возникает таким образом.

The classical groups are important examples of non abelian topological groups. For instance, the general linear group GL(n,) of all invertible n by n matrices with real entries can be viewed as a topological group with the topology defined by viewing GL(n,) as a subspace of Euclidean space ^(n×n). Another classical group is the orthogonal group O(n), the group of all linear maps from ^(n) to itself that preserve the length of all vectors. The orthogonal group is compact as a topological space. Much of Euclidean geometry can be viewed as studying the structure of the orthogonal group, or the closely related group O(n) ⋉ ^(n) of isometries of ^(n). The groups mentioned so far are all Lie groups, meaning that they are smooth manifolds in such a way that the group operations are smooth, not just continuous. Lie groups are the best understood topological groups; many questions about Lie groups can be converted to purely algebraic questions about Lie algebras and then solved. An example of a topological group that is not a Lie group is the additive group of rational numbers, with the topology inherited from
This is a countable space, and it does not have the discrete topology. An important example for number theory is the group p of p adic integers, for a prime number p, meaning the inverse limit of the finite groups /p^(n) as n goes to infinity. The group p is well behaved in that it is compact (in fact, homeomorphic to the Cantor set), but it differs from (real) Lie groups in that it is totally disconnected. More generally, there is a theory of p adic Lie groups, including compact groups such as GL(n,p) as well as locally compact groups such as GL(n,p), where p is the locally compact field of p adic numbers. The group p is a pro finite group; it is isomorphic to a subgroup of the product in such a way that its topology is induced by the product topology, where the finite groups are given the discrete topology. Another large class of pro finite groups important in number theory are absolute Galois groups. Some topological groups can be viewed as infinite dimensional Lie groups; this phrase is best understood informally, to include several different families of examples. For example, a topological vector space, such as a Banach space or Hilbert space, is an abelian topological group under addition. Some other infinite dimensional groups that have been studied, with varying degrees of success, are loop groups, Kac–Moody groups, Diffeomorphism groups, homeomorphism groups, and gauge groups. In every Banach algebra with multiplicative identity, the set of invertible elements forms a topological group under multiplication. For example, the group of invertible bounded operators on a Hilbert space arises this way.

Однородное пространство

Каждая топологическая группа может рассматриваться как однородное пространство двумя способами: левая однородность делает все левые умножения равномерно непрерывными отображениями, а правая однородность – все правые умножения равномерно непрерывными отображениями. Если G некоммутативна, то эти две однородности не обязательно совпадают. Однородные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота, равномерная непрерывность и равномерная сходимость в топологических группах.

Подгруппы

Каждая подгруппа топологической группы сама является топологической группой, если наделена топологией подпространства. Каждая открытая подгруппа H также замкнута в G, поскольку дополнение к H является открытым множеством, заданным объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H.
Если H является подгруппой G, то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H – нормальная подгруппа G, то замыкание H является нормальной в G.

Квотиенты и нормальные подгруппы

Если H – подгруппа G, то множество левых смежных классов G/H с топологией частного называется однородным пространством для G. Отображение частного всегда открыто. Например, для положительного целого числа n, сфера Sⁿ является однородным пространством для группы вращений SO(n+1) в ℝⁿ⁺¹, при этом. Однородное пространство G/H является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда H замкнуто в G. Отчасти по этой причине естественно сосредотачиваться на замкнутых подгруппах при изучении топологических групп. Если H – нормальная подгруппа G, то факторгруппа G/H становится топологической группой, если ей задать топологию частного. Она является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда H замкнуто в G. Например, факторгруппа ℝ/ℤ изоморфна группе окружности S¹. В любой топологической группе компонент единицы (то есть связный компонент, содержащий единичный элемент) является замкнутой нормальной подгруппой. Если C – компонент единицы, а a – любая точка G, то левый смежный класс aC – это компонент G, содержащий a. Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) C в G равна совокупности всех компонент G. Следовательно, факторгруппа G/C тотально несвязна.

Закрытие и компактность

В любой коммутативной топологической группе произведение (при условии, что группа является мультипликативной) KC компактного множества K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. Кроме того, для любых подмножеств R и S из G, (cl R)(cl S) ⊆ cl (RS). Если H – подгруппа коммутативной топологической группы G и N – окрестность в G единичного элемента, такая что H ∩ cl N замкнуто, то H замкнута. Каждая дискретная подгруппа коммутативной топологической группы Хаусдорфа замкнута.

Теоремы изоморфизма

Теоремы изоморфизма из обычной теории групп не всегда верны в топологическом контексте. Это связано с тем, что биективный гомоморфизм не обязательно является изоморфизмом топологических групп. Например, прямая формулировка теоремы о первом изоморфизме неверна для топологических групп: если f – морфизм топологических групп (то есть непрерывный гомоморфизм), то не обязательно верно, что индуцированный гомоморфизм f̃ является изоморфизмом топологических групп; он будет биективным и непрерывным, но не обязательно гомеоморфизмом. Иными словами, он не обязательно будет иметь обратное в категории топологических групп. Существует версия теоремы о первом изоморфизме для топологических групп, которую можно сформулировать следующим образом: если f – непрерывный гомоморфизм, то индуцированный гомоморфизм из G/ker(f) в im(f) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f открыто на своё изображение. Третья теорема изоморфизма, однако, для топологических групп верна практически дословно, что легко проверить.

Представления компактных или локально компактных групп

Действие топологической группы G на топологическом пространстве X — это групповое действие G на X, такое, что соответствующая функция G × X → X непрерывна. Аналогично, представление топологической группы G на вещественном или комплексном топологическом векторном пространстве V является непрерывным действием G на V, таким образом, что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv из V в себя является линейным. Групповые действия и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит для конечных групп. Например, каждое конечномерное (вещественное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений. Бесконечномерное унитарное представление компактной группы может быть разложено как прямая сумма гильбертова пространства неприводимых представлений, которые все конечномерны; это часть теоремы Питера — Вейля. Например, теория рядов Фурье описывает разложение унитарного представления группы круга S¹ на комплексном гильбертовом пространстве L²(S¹). Неприводимые представления S¹ все одномерны, имеют вид z ↦ zⁿ для целых чисел n (где S¹ рассматривается как подгруппа мультипликативной группы *). Каждое из этих представлений встречается с кратностью 1 в L²(S¹). Неприводимые представления всех компактных связных групп Ли классифицированы. В частности, характер каждого неприводимого представления задается формулой характера Вейля. В более общем случае, локально компактные группы обладают богатой теорией гармонического анализа, поскольку они допускают естественное понятие меры и интеграла, задаваемое мерой Хаара. Каждое унитарное представление локально компактной группы может быть описано как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по существу единственно, если G относится к типу I, который включает в себя наиболее важные примеры, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли.) Базовым примером является преобразование Фурье, которое раскладывает действие аддитивной группы на гильбертовом пространстве L² как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. Неприводимые унитарные представления аддитивной группы ℝ все одномерны, имеют вид x ↦ e^(2πiax) для a ∈ ℝ. Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Важной целью теории представлений, связанной с классификацией допустимых представлений Лэнглендса, является нахождение унитарного дуала (пространства всех неприводимых унитарных представлений) для полупростых групп Ли. Унитарный дуал известен во многих случаях, таких как теория представлений SL₂(ℝ), но не во всех. Для локально компактной абелевой группы G каждое неприводимое унитарное представление имеет размерность 1. В этом случае унитарный дуал является группой, фактически другой локально компактной абелевой группой. Двойственность Понтрягина утверждает, что для локально компактной абелевой группы G дуал группы G является исходной группой G. Например, двойственная группа целых чисел является круговой группой S¹, в то время как группа вещественных чисел изоморфна своему собственному дуалу. Каждая локально компактная группа G имеет достаточное количество неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G (теорема Гельфанда — Райкова). Напротив, теория представлений топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих пор разработана только в особых случаях, и ожидать общей теории может быть неразумно. Например, существует много абелевых групп Банаха — Ли, для которых каждое представление на гильбертовом пространстве тривиально.

An action of a topological group G on a topological space X is a group action of G on X such that the corresponding function G × X → X is continuous. Likewise, a representation of a topological group G on a real or complex topological vector space V is a continuous action of G on V such that for each g ∈ G, the map v ↦ gv from V to itself is linear. Group actions and representation theory are particularly well understood for compact groups, generalizing what happens for finite groups. For example, every finite dimensional (real or complex) representation of a compact group is a direct sum of irreducible representations. An infinite dimensional unitary representation of a compact group can be decomposed as a Hilbert space direct sum of irreducible representations, which are all finite dimensional; this is part of the Peter–Weyl theorem. For example, the theory of Fourier series describes the decomposition of the unitary representation of the circle group S^(1) on the complex Hilbert space L^(2)(S^(1)). The irreducible representations of S^(1) are all 1 dimensional, of the form z ↦ z^(n) for integers n (where S^(1) is viewed as a subgroup of the multiplicative group *). Each of these representations occurs with multiplicity 1 in L^(2)(S^(1)). The irreducible representations of all compact connected Lie groups have been classified. In particular, the character of each irreducible representation is given by the Weyl character formula. More generally, locally compact groups have a rich theory of harmonic analysis, because they admit a natural notion of measure and integral, given by the Haar measure. Every unitary representation of a locally compact group can be described as a direct integral of irreducible unitary representations. (The decomposition is essentially unique if G is of Type I, which includes the most important examples such as abelian groups and semisimple Lie groups.) A basic example is the Fourier transform, which decomposes the action of the additive group on the Hilbert space L^(2) as a direct integral of the irreducible unitary representations of
The irreducible unitary representations of are all 1 dimensional, of the form x ↦ e^(2πiax) for a ∈
The irreducible unitary representations of a locally compact group may be infinite dimensional. A major goal of representation theory, related to the Langlands classification of admissible representations, is to find the unitary dual (the space of all irreducible unitary representations) for the semisimple Lie groups. The unitary dual is known in many cases such as [[representation theory of SL2(R), but not all. For a locally compact abelian group G, every irreducible unitary representation has dimension 1. In this case, the unitary dual is a group, in fact another locally compact abelian group. Pontryagin duality states that for a locally compact abelian group G, the dual of is the original group G.
For example, the dual group of the integers is the circle group S^(1), while the group of real numbers is isomorphic to its own dual. Every locally compact group G has a good supply of irreducible unitary representations; for example, enough representations to distinguish the points of G (the Gelfand–Raikov theorem). By contrast, representation theory for topological groups that are not locally compact has so far been developed only in special situations, and it may not be reasonable to expect a general theory. For example, there are many abelian Banach–Lie groups for which every representation on Hilbert space is trivial.

Гомотопическая теория топологических групп

Топологические группы выделяются среди всех топологических пространств, даже с точки зрения их гомотопического типа. Важным моментом является то, что топологическая группа G определяет связное топологическое пространство – классифицирующее пространство BG (которое классифицирует главные G-расслоения над топологическими пространствами при умеренных предположениях). Группа G изоморфна в гомотопической категории петлевому пространству BG, что накладывает различные ограничения на гомотопический тип G. Некоторые из этих ограничений справедливы в более широком контексте H-пространств. Например, фундаментальная группа топологической группы G абелева. (В более общем случае, произведение Уайтхеда на гомотопических группах G равно нулю.) Кроме того, для любого поля k, кольцо когомологий H*(G,k) имеет структуру алгебры Хопфа. В свете теорем о структуре алгебр Хопфа, установленных Хайнцем Хопфом и Армандом Борелем, это накладывает существенные ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G – связная топологическая группа, чье рациональное кольцо когомологий H*(G, ) конечномерно в каждой степени, то это кольцо должно быть свободной градуированной коммутативной алгеброй над , то есть тензорным произведением полиномиального кольца по образующим четной степени и внешней алгебры по образующим нечетной степени. В частности, для связной группы Ли G, рациональное кольцо когомологий G является внешней алгеброй по образующим нечетной степени. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K, которая определена с точностью до сопряжения, и включение K в G является гомотопической эквивалентностью. Таким образом, описание гомотопических типов групп Ли сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальная компактная подгруппа SL(2, ) – это окружная группа SO(2), а однородное пространство SL(2, )/SO(2) можно отождествить с гиперболической плоскостью. Поскольку гиперболическая плоскость стягиваема, включение окружной группы в SL(2, ) является гомотопической эквивалентностью. Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом, Эли Картаном и Германом Вейлем. В результате существует практически полное описание возможных гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, группой SU(2) (диффеоморфной 3-сфере S^(3)), либо ее фактор-группой SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (диффеоморфной вещественному проективному пространству).

Topological groups are special among all topological spaces, even in terms of their homotopy type. One basic point is that a topological group G determines a path connected topological space, the classifying space BG (which classifies principal G bundles over topological spaces, under mild hypotheses). The group G is isomorphic in the homotopy category to the loop space of BG; that implies various restrictions on the homotopy type of G.
Some of these restrictions hold in the broader context of H spaces. For example, the fundamental group of a topological group G is abelian. (More generally, the Whitehead product on the homotopy groups of G is zero.) Also, for any field k, the cohomology ring H*(G,k) has the structure of a Hopf algebra. In view of structure theorems on Hopf algebras by Heinz Hopf and Armand Borel, this puts strong restrictions on the possible cohomology rings of topological groups. In particular, if G is a path connected topological group whose rational cohomology ring H*(G,) is finite dimensional in each degree, then this ring must be a free graded commutative algebra over , that is, the tensor product of a polynomial ring on generators of even degree with an exterior algebra on generators of odd degree. In particular, for a connected Lie group G, the rational cohomology ring of G is an exterior algebra on generators of odd degree. Moreover, a connected Lie group G has a maximal compact subgroup K, which is unique up to conjugation, and the inclusion of K into G is a homotopy equivalence. So describing the homotopy types of Lie groups reduces to the case of compact Lie groups. For example, the maximal compact subgroup of SL(2,) is the circle group SO(2), and the homogeneous space SL(2,)/SO(2) can be identified with the hyperbolic plane. Since the hyperbolic plane is contractible, the inclusion of the circle group into SL(2,) is a homotopy equivalence. Finally, compact connected Lie groups have been classified by Wilhelm Killing, Élie Cartan, and Hermann Weyl. As a result, there is an essentially complete description of the possible homotopy types of Lie groups. For example, a compact connected Lie group of dimension at most 3 is either a torus, the group SU(2) (diffeomorphic to the 3 sphere S^(3)), or its quotient group SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (diffeomorphic to [[real projective space).

Полная топологическая группа

Информацию о сходимости сетей и фильтров, включая определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии.