Введение
Число в третьей степени
В арифметике и алгебре кубом числа n называется его третья степень, то есть результат умножения трех значений n друг на друга. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например или (x + 1)³. Куб также является числом, умноженным на его квадрат: размер=120%. Кубическая функция – это функция x ↦ x³ (часто обозначаемая 1=y = x³), которая отображает число в его куб. Это нечётная функция, так как размер=120%. Объём геометрического куба равен кубу длины его стороны, что и дало название. Обратная операция, заключающаяся в нахождении числа, куб которого равен n, называется извлечением кубического корня из n. Она определяет сторону куба заданного объёма. Это также n, возведённое в степень 1/3. График кубической функции известен как кубическая парабола. Поскольку кубическая функция является нечётной, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии.
size=120%. The cube function is the function x ↦ x^(3) (often denoted 1=y = x^(3)) that maps a number to its cube. It is an odd function, as
size=120%. The volume of a geometric cube is the cube of its side length, giving rise to the name. The inverse operation that consists of finding a number whose cube is n is called extracting the cube root of n. It determines the side of the cube of a given volume. It is also n raised to the one third power. The graph of the cube function is known as the cubic parabola. Because the cube function is an odd function, this curve has a center of symmetry at the origin, but no axis of symmetry.
Сумма трех кубов
Предполагается, что любое целое число (положительное или отрицательное), не сравнимое с ±4 по модулю 9, может быть представлено в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. Например, целые числа, сравнимые с ±4 по модулю 9, исключаются, поскольку их нельзя представить в виде суммы трех кубов. Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, равно 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известного представления в виде суммы трех кубов, 42, удовлетворяет этому уравнению: одно решение приведено в таблице ниже для n ≤ 78, при этом n не сравнимо с 4 или 5 по модулю 9. Выбранное решение является примитивным (НОД(x, y, z) = 1), не имеет вида или (поскольку это бесконечные семейства решений), удовлетворяет , и имеет минимальные значения для и (проверяются в этом порядке). Выбираются только примитивные решения, так как непримитивные решения могут быть тривиально получены из решений для меньшего значения n. Например, для n = 24, решение получается из решения путем умножения всего на . Следовательно, это другое выбранное решение. Аналогично, для n = 48, решение (x, y, z) = (2, 2, 4) исключается, и выбирается решение (x, y, z) = (23, 26, 31).
One solution to is given in the table below for n ≤ 78, and n not congruent to 4 or 5 modulo 9. The selected solution is the one that is primitive (1=gcd(x, y, z) = 1), is not of the form or (since they are infinite families of solutions), satisfies , and has minimal values for and (tested in this order). Only primitive solutions are selected since the non primitive ones can be trivially deduced from solutions for a smaller value of n. For example, for 1=n = 24, the solution results from the solution by multiplying everything by Therefore, this is another solution that is selected. Similarly, for 1=n = 48, the solution 1=(x, y, z) = ( 2, 2, 4) is excluded, and this is the solution 1=(x, y, z) = ( 23, 26, 31) that is selected.
Последняя теорема Ферма для кубов
Уравнение 1=x^(3) + y^(3) = z^(3) не имеет нетривиальных (т. е. xyz ≠ 0) решений в целых числах. Более того, решений в целых числах Эйзенштейна также не существует. Оба эти утверждения справедливы и для уравнения 1=x^(3) + y^(3) = 3z^(3).
Кубики как суммы последовательных нечетных целых чисел
В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, первый является кубом; сумма следующих двух равна следующему кубу; сумма следующих трех равна следующему кубу; и так далее.
Проблема Уэринга для кубов
Каждое положительное целое число можно представить в виде суммы девяти (или менее) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов нельзя уменьшить, поскольку, например, число 23 нельзя представить в виде суммы менее девяти положительных кубов:
23 = 23 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
В рациональных числах
Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов, и существуют рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов.
В действительных числах, других полях и кольцах
В действительных числах кубическая функция сохраняет порядок: большее число имеет больший куб. Другими словами, кубы (строго) монотонно возрастают. Кроме того, область значений функции – вся вещественная прямая: функция x ↦ x³ : ℝ → ℝ является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: −1, 0 и 1. Если −1 < x < 0 или x > 1, то x³ > x. Если x < −1 или 0 < x < 1, то x³ < x. Все вышеупомянутые свойства применимы также к любой нечётной степени с нечётным показателем (x⁵, x⁷, ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце. Объёмы подобных евклидовых тел соотносятся как кубы их линейных размеров. В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, i³ = −i, где i – мнимая единица. Производная x³ равна 3x². Кубические функции иногда обладают свойством сюръективности в других полях, например, в конечном поле для простого числа p, такого что p ≠ 1 (mod 3), но это не всегда так: см. контрпример с рациональными числами выше. Также в F₇ только три элемента – 0, ±1 – являются полными кубами, из семи возможных. −1, 0 и 1 являются полными кубами в любом поле и единственными элементами поля, равными своим кубам: 1 = x³ − x = [[факторизация многочленов].
История
Определение кубов больших чисел было широко распространено во многих древних цивилизациях. Месопотамские математики создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к старовавилонскому периоду (20–16 века до н.э.). Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту. Герон Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I веке н.э. Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней встречаются в «Математическом искусстве в девяти книгах», китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до н.э. и прокомментированном Лю Хуэйем в III веке н.э.