Введение

Модульная функция в математике

В математике j-инвариант Феликса Клейна или j-функция, рассматриваемая как функция комплексной переменной τ, является модульной функцией веса ноль для SL(2, ℤ), определенной на верхней полуплоскости комплексных чисел. Это единственная такая функция, голоморфная за исключением простого полюса в вершине, такая что рациональные функции от j являются модульными и, фактически, дают все модульные функции. Классически j-инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над ℂ, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстра (эта связь называется «монструозным лунным светом»).

Свойства трансцендентности

В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат, что если τ является квадратичным иррациональным числом в верхней полуплоскости, то j(τ) является алгебраическим целым. Кроме того, он доказал, что если τ – алгебраическое число, но не мнимоквадратичное, то j(τ) трансцендентно. Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул конкретную гипотезу о трансцендентности, которая часто называется гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю.В. Нестеренко и Патриса Филлиона в 1990-х годах. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e^(2πiτ) и j(τ) не могут быть одновременно алгебраическими. В настоящее время известны более сильные результаты, например, если e^(2πiτ) алгебраично, то следующие три числа алгебраически независимы, и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны.

Луна

Более примечательно, что коэффициенты Фурье для положительных степеней q являются размерностями градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров, называемой модулем лунного света – в частности, коэффициент при q^n является размерностью n-й градуированной компоненты модуля лунного света, первым примером которого является алгебра Грисса, имеющая размерность 196 884, что соответствует члену 196884q. Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном МакКеем, стало отправной точкой для теории лунного света. Изучение гипотезы лунного света привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы до вида

то Джон Г. Томпсон показал, что существует лишь конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позднее показал, что их ровно 6486, из которых 616 имеют целочисленные коэффициенты.

Невозможность классификации эллиптических кривых по другим полям

Инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами, или, в более общем случае, над алгебраически замкнутым полем. Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых с одинаковым инвариантом, но неизоморфных. Например, пусть и – эллиптические кривые, связанные с многочленами, оба имеющие инвариант . Тогда рациональные точки можно вычислить как: поскольку нет рациональных решений при . Это можно показать, используя формулу Кардано, чтобы доказать, что в этом случае решения уравнения все иррациональны. С другой стороны, на множестве точек уравнение для превращается в . Разделив на , чтобы исключить решение , квадратная формула дает рациональные решения: . Если эти кривые рассматриваются над , существует изоморфизм , отображающий

Другое

Предоставляет очень доступное введение и различные интересные тождества. Содержит множество интересных алгебраических тождеств, включая обратное представление в виде гипергеометрического ряда. Вводит инвариант j и обсуждает связанную с ним теорию полей классов. Включает список из 175 модульных функций рода ноль. Предоставляет краткий обзор в контексте модульных форм.