Кіріспе

Математикадағы модульдік функция

Математикада Феликс Клейннің j инварианты немесе j функциясы, күрделі айнымалы τ функциясы ретінде қарастырылатын, күрделі сандардың жоғарғы жарты жазықтығында анықталған SL(2, 'Z') үшін нөлдік салмақты модульдік функция болып табылады. Бұл, тұңғиықтағы қарапайым полюстен басқа жерде голоморфты болатын, осындай функцияның бірегейі.

j функциясының рационалдық функциялары модульді болып табылады, және шындығында барлық модульдік функцияларды құрайды. Классикалық түрде j инварианты эллиптік қисықтарды параметрлеу үшін зерттелді, бірақ ол Monster тобының симметрияларымен де күтпеген байланыстарға ие (осы байланыс "монстрлық ай шашы" деп аталады).

Трансценденттік қасиеттері

1937 жылы Теодор Шнайдер жоғарыда айтылған нәтижені дәлелдеді, егер τ жоғарғы жарты жазықтықтағы квадраттық иррационал сан болса, онда j(τ) алгебралық бүтін сан болады. Одан әрі, ол τ алгебралық сан болса, бірақ нақты емес квадраттық болса, онда j(τ) трансценденттік екенін дәлелдеді. j функциясының көптеген басқа трансценденттік қасиеттері бар. Курт Малер белгілі бір трансценденттік нәтижені болжады, ол көбінесе Малердің болжамы деп аталады, бірақ ол 1990 жылдары Ю.В. Нестеренко мен Патрис Филлипон нәтижелерінің салдары ретінде дәлелденді. Малердің болжамы бойынша, егер τ жоғарғы жарты жазықтықта болса, онда e^(2πiτ) және j(τ) бір уақытта алгебралық бола алмайды. Қазір күштірек нәтижелер белгілі, мысалы, егер e^(2πiτ) алгебралық болса, онда келесі үш сан алгебралық тәуелсіз, демек олардың кем дегенде екеуі трансценденттік:

Ай шамы

Тағы да ерекшелігі, q-ның оң көрсеткіштері үшін Фурье коэффициенттері "ай сәулесі модулі" деп аталатын монстр тобының шексіз өлшемді, сыныпталған алгебралық бейнелеуінің сыныпталған бөлігінің өлшемдері болып табылады. Нақтырақ айтқанда, q^(n) коэффициенті – ай сәулесі модулінің n-ші сыныпты бөлігінің өлшемі, ал бірінші мысал – өлшемі 196 884-ке тең Грис алгебрасы, ол 196884q мүшесіне сәйкес келеді. Осы таңғажайып байқауды алғаш Джон МакКей жасаған, ол ай сәулесі теориясының бастауы болды. Ай сәулесі болжамын зерттеу Джон Хортон Конвей мен Саймон П. Нортонды нөлдік родты модульдік функцияларды қарастыруға итермеледі. Егер олар нормаланған болса, онда Джон Г. Томпсон мұндай функциялардың саны шектеулі екенін көрсетті (кейбір шекті деңгейде), ал Крис Дж. Камминс кейіннен олардың саны дәл 6486 екенін көрсетті, оның 616-сы бүтін коэффициенттерге ие.

Эллипстік қисықтарды басқа өрістермен салыстырудың қателігі

Инвариант тек комплекс сандардағы эллиптік қисықтардың изоморфизм кластарына немесе жалпы алғанда, алгебралық жабық өріске ғана сезімтал. Басқа өрістерде инварианты бірдей, бірақ изоморфты емес эллиптік қисықтардың мысалдары бар. Мысалы, бірдей инвариантқа ие болатын көпмүшелерге байланысты эллиптік қисықтарды қарастырайық. Онда қисықтардың рационалдық нүктелерін былай есептеуге болады: себебі рационалдық шешімдер жоқ. Кардано формуласын қолдану арқылы, осы жағдайда барлық шешімдердің иррационалды екенін көрсетуге болады. Екінші жағынан, нүктелер жиынындағы теңдеу мына түрге енеді. -тің шешімін жою үшін, квадрат теңдеуінің формуласы рационалдық шешімдерді береді: Егер бұл қисықтар қарастырылса, онда изоморфизм бар, ол жібереді.

Басқа

. Кіріспе өте оқуға қолайлы және түрлі қызықты өзгешеліктерді ұсынады. Гипергеометриялық қатар түрінде кері шамасын қоса алғанда, әртүрлі қызықты алгебралық теңдіктерді келтіреді. j инвариантын енгізеді және оған байланысты кластық өріс теориясын талқылайды. 175 нөлдік туыс модульдік функциялардың тізімін қамтиды. Модульдік формалар контекстінде қысқаша шолу ұсынады. .