Введение

Положительное целое число, делители которого имеют гармоническое среднее, являющееся целым числом.
Числа с гармоническими делителями

В математике число с гармоническими делителями, или число Оре, — это положительное целое число, делители которого имеют гармоническое среднее, являющееся целым числом. Первые несколько чисел с гармоническими делителями:
1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190. Числа с гармоническими делителями были введены Эйштейном Оре, который показал, что каждое совершенное число является числом с гармоническими делителями, и предположил, что не существует нечётных чисел с гармоническими делителями, кроме 1.

Примеры

Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое является целым числом:

Таким образом, 6 является гармоническим делителем. Аналогично, число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое равно

Поскольку 5 является целым числом, 140 является гармоническим делителем.

Числа гармонического делителя и совершенные числа

Для любого целого числа M, как заметил Оре, произведение среднего гармонического и среднего арифметического его делителей равно самому M, что следует из определений. Следовательно, M является гармоничным, с гармоническим средним делителей k, если и только если среднее ее делителей является произведением M на единичную дробь 1/k. Оре показал, что каждое совершенное число гармонично. Чтобы увидеть это, заметим, что сумма делителей совершенного числа M равна ровно 2M; следовательно, среднее делителей равно M(2/τ(M)), где τ(M) обозначает количество делителей M. Для любого M, τ(M) нечетно тогда и только тогда, когда M является полным квадратом, поскольку в противном случае каждый делитель d числа M можно сопоставить с другим делителем M/d. Однако ни одно совершенное число не может быть полным квадратом: это следует из известной формы четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь делитель вида qα, где α ≡ 1 (mod 4). Поэтому для совершенного числа M, τ(M) четно, а среднее делителей является произведением M на единичную дробь 2/τ(M); таким образом, M является гармоническим делителем. Оре предположил, что не существует нечетных гармонических делителей, отличных от 1. Если это предположение верно, то это подразумевает несуществование нечетных совершенных чисел.

Границы и компьютерные поиски

У. Х. Миллс (неопубликованная работа; см. Мускат) показал, что любое нечётное гармоническое делительное число, превышающее 1, должно иметь простой множитель, больший 107, а Коэн доказал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых множителя. Также было показано, что нечётных гармонических делительных чисел меньше 1024 не существует. Коэн, Гото и другие, начиная с Оре, проводили компьютерный поиск, составляя списки всех малых гармонических делительных чисел. На основе этих результатов известны списки всех гармонических делительных чисел до 2 × 109, а также всех гармонических делительных чисел, для которых гармоническое среднее их делителей не превышает 300.