Кіріспе

Бөлгіштерінің гармоникалық орташасы бүтін сан болатын оң бүтін сан. Гармоникалық бөлгіш сандар

Математикада, гармоникалық бөлгіш сан немесе Оре саны – бөлгіштерінің гармоникалық орташасы бүтін сан болатын оң бүтін сан. Бірінші бірнеше гармоникалық бөлгіш сандар: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190. Гармоникалық бөлгіш сандарды Øystein Ore енгізді, ол әрбір толық санның гармоникалық бөлгіш сан екенін көрсетті және 1-ден басқа тақ гармоникалық бөлгіш сандар жоқ деп болжады.

Мысалдар

6 санының төрт бөлгіші бар: 1, 2, 3 және 6. Олардың гармоникалық орташасы бүтін сан болып табылады:

Осылайша, 6 – гармоникалық бөлгіш саны. Сол сияқты, 140 санының бөлгіштері 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 және 140. Олардың гармоникалық орташасы

5 бүтін сан болғандықтан, 140 – гармоникалық бөлгіш саны.

Гармониялық бөлгіш сандары мен кемел сандар

Кез келген M бүтін саны үшін, Оре байқағандай, оның бөлгіштерінің гармониялық орташасы мен арифметикалық орташасының көбейтіндісі M-нің өзіне тең, бұл анықтамалардан көрінеді. Сондықтан, M гармониялық, егер оның бөлгіштерінің гармониялық орташасы k болса, онда оның бөлгіштерінің орташасы M-нің 1/k бірлік бөлшегімен көбейтіндісіне тең болады. Оре әрбір толық санның гармониялық екенін көрсетті. Мұны көру үшін, толық сан M-нің бөлгіштерінің қосындысы дәл 2M екенін байқаңыз; демек, бөлгіштердің орташасы M(2/τ(M))-ге тең, мұнда τ(M) M-нің бөлгіштерінің санын білдіреді. Кез келген M үшін, τ(M) жұп сан болады, егер және тек қана M квадрат сан болмаса, себебі әйтпесе M-нің әрбір d бөлгішіне M/d деген басқа бөлгіш сәйкес келеді. Бірақ ешбір толық сан квадрат бола алмайды: бұл жұп толық сандардың белгілі түрінен және тақ толық сандардың (егер олар болса) qα түріндегі көбейткіші болуы керек, мұнда α ≡ 1 (mod 4) екені белгілі. Сондықтан, толық сан M үшін, τ(M) жұп сан және бөлгіштердің орташасы M-нің 2/τ(M) бірлік бөлшегімен көбейтіндісіне тең; демек, M – гармониялық бөлгіш саны. Оре 1-ден басқа тақ гармониялық бөлгіш сандардың жоқ екенін болжады. Егер бұл болжам дұрыс болса, онда тақ толық сандардың да жоқ екені шығады.

Шекаралар мен компьютерлік іздеулер

W. H. Mills (жарияланбаған; қараңыз Мускат) 1-ден жоғары кез келген тақ гармоникалық бөлгіш санның 107-ден жоғары дәрежелі жай сан факторы болуы керек екенін көрсетті, ал Коэн мұндай санның кем дегенде үш түрлі жай сан факторы болуы керек екенін көрсетті. Сондай-ақ, 1024-тен кіші тақ гармоникалық бөлгіш сандар жоқ екендігі дәлелденді. Коэн, Гото және Оренің өзінен бастап басқа зерттеушілер де барлық кіші гармоникалық бөлгіш сандардың тізімін жасау үшін компьютерлік іздеулер жүргізді. Осы нәтижелердің арқасында 2 × 109-ға дейінгі барлық гармоникалық бөлгіш сандардың тізімдері және бөлгіштерінің гармониялық ортасы 300-ден аспайтын барлық гармоникалық бөлгіш сандардың тізімдері белгілі.