Введение

Парадокс, связанный с игрой с повторным подбрасыванием монеты.

Парадокс Санкт-Петербурга, или Санкт-Петербургская лотерея, – это парадокс, возникающий в игре с подбрасыванием монеты, где математическое ожидание выигрыша в теоретической лотерее стремится к бесконечности, однако участникам игра представляется стоящей лишь очень небольшой суммы. Парадокс Санкт-Петербурга представляет собой ситуацию, когда наивный критерий принятия решений, учитывающий только математическое ожидание, предсказывает действие, которое, предположительно, ни один реальный человек не согласился бы совершить. Было предложено несколько решений этого парадокса, включая нереальную сумму денег, необходимую казино для продолжения игры неограниченно долго. Проблема была сформулирована Николасом Бернулли, который изложил её в письме Пьеру Раймону де Монмору 9 сентября 1713 года. Однако название парадокс получил благодаря анализу, проведённому кузеном Николаса, Даниэлем Бернулли, некогда жившим в Санкт-Петербурге, который в 1738 году опубликовал свои размышления об этой проблеме в «Комментариях Императорской академии наук Санкт-Петербурга».

Игра в Санкт-Петербурге

Казино предлагает азартную игру для одного игрока, в которой на каждом этапе подбрасывается честная монета. Начальная ставка составляет 2 доллара и удваивается каждый раз, когда выпадает решка. Как только выпадает орёл, игра заканчивается, и игрок выигрывает текущую ставку. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара, если орёл выпадает первым броском, 4 доллара, если первым броском выпадает решка, а вторым – орёл, 8 долларов, если первые два броска выпадают решкой, а третьим – орёл, и так далее. Математически, выигрыш игрока составляет долларов, где – количество последовательных бросков решкой. Очевидный парадокс заключается в расхождении между тем, сколько люди готовы заплатить за участие в игре, и бесконечным математическим ожиданием. Оказывается, что функция квадратного корня, описывающая убывающую предельную полезность выигрыша, может решить эту проблему. Однако, в отличие от Даниэля Бернулли, он не учитывал общее состояние игрока, а только выигрыш в лотерее. Тем не менее, это решение Крэмера и Бернулли не является полностью удовлетворительным, поскольку лотерею можно легко изменить так, чтобы парадокс возник снова. Для этого достаточно изменить игру, чтобы выплаты росли ещё быстрее. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, демонстрирующую вариант парадокса Санкт-Петербурга, как впервые указал Менгер. В последнее время теория ожидаемой полезности была расширена для создания более реалистичных моделей принятия решений. В некоторых из этих новых теорий, например, в теории кумулятивной перспективы, парадокс Санкт-Петербурга вновь возникает в определенных случаях, даже когда функция полезности вогнута, но не ограничена.

Игнорировать события с малой вероятностью

Буффон Кейнс, в частности, утверждал, что относительный риск альтернативы может быть настолько велик, что приведет к ее отклонению, даже если ожидаемая от нее выгода огромна.

Эргодичность

Раннее решение, содержащее основные математические аргументы, основанные на мультипликативной динамике, было предложено в 1870 году Уильямом Алленом Уитвортом. Явная связь с проблемой эргодичности была установлена Питерсом в 2011 году. Эти решения математически аналогичны использованию критерия Келли или логарифмической функции полезности. Общая динамика, выходящая за рамки чисто мультипликативного случая, может соответствовать нелогарифмическим функциям полезности, как отметили Карр и Керубини в 2020 году.

Последние дискуссии

Хотя этому парадоксу уже три столетия, в последние годы всё ещё выдвигаются новые аргументы.

Феллер

Решение, включающее выборку, было предложено Уильямом Феллером. Интуитивно, ответ Феллера заключается в том, чтобы сыграть в эту игру с большим числом участников и вычислить математическое ожидание на основе выборки. В этом методе, если возможно неограниченное число игр, математическое ожидание будет бесконечным, а при конечном числе игр – значительно меньше.

Сэмюэлсон

Пол Сэмюэлсон разрешает этот парадокс, утверждая, что даже если бы у кого-то были бесконечные ресурсы, игра бы не была предложена. Если лотерея представляет собой бесконечное ожидаемое выигрыш для игрока, то она же представляет собой бесконечный ожидаемый убыток для организатора. Никто не был бы замечен платящим за участие в игре, поскольку она никогда не была бы предложена. Как Самюэлсон суммировал свой аргумент: "Пол никогда не согласится отдать столько, сколько Питер потребует за такой контракт; и, следовательно, описанная деятельность будет происходить на равновесном уровне нулевой интенсивности".

Варианты

Для противодействия предлагаемым решениям игры Санкт-Петербург предложено множество вариантов этой игры. Пусть *n* – число бросков монеты; если *n* нечетное, игрок выигрывает *n* единиц полезности; в противном случае игрок теряет *n* единиц полезности. Ожидаемая полезность от игры равна Однако, поскольку ряд не является абсолютно сходящимся, его можно перегруппировать так, чтобы он сходился к любому числу, включая положительную или отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что ожидаемая полезность игры Пасадена зависит от порядка суммирования, но стандартная теория принятия решений не предоставляет принципиального способа выбора этого порядка.