Введение

Ситуация, в которой общий выигрыш равен общим потерям. Игра с нулевой суммой – это математическое представление в теории игр и экономической теории ситуации, включающей две стороны, где результат представляет собой выгоду для одной стороны и эквивалентный ущерб для другой. Иными словами, выигрыш одного игрока эквивалентен проигрышу другого, в результате чего общее изменение выгоды от игры равно нулю. Если сложить все выигрыши участников и вычесть все их потери, то в сумме получится ноль. Таким образом, разделение пирога, когда получение большей части уменьшает количество пирога, доступного для остальных, в той же степени, в какой оно увеличивается для получившего, является игрой с нулевой суммой, если все участники одинаково ценят каждую единицу пирога. Другие примеры игр с нулевой суммой в повседневной жизни включают такие игры, как покер, шахматы и бридж, где выигрыш одного игрока соответствует проигрышу другого, что приводит к нулевой чистой выгоде для каждого игрока. На рынках и в финансовых инструментах фьючерсные контракты и опционы также являются играми с нулевой суммой. В отличие от этого, ситуация с ненулевой суммой описывает случай, когда совокупные выигрыши и убытки взаимодействующих сторон могут быть как меньше, так и больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго конкурентной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть как конкурентными, так и неконкурентными. Игры с нулевой суммой чаще всего решаются с помощью теоремы минимакса, которая тесно связана с двойственностью линейного программирования.

Определение

Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой исход ситуации с нулевой суммой является парето-оптимальным. В общем случае, любая игра, в которой все стратегии парето-оптимальны, называется конфликтной игрой. Игры с нулевой суммой являются частным случаем игр с постоянной суммой, где сумма каждого исхода всегда равна нулю. Такие игры носят распределительный, а не интегративный характер; увеличить "пирог" посредством переговоров невозможно. Если выигрыш (или проигрыш) одного принимающего решения не обязательно влечет за собой проигрыш (или выигрыш) другого, то такие ситуации называются играми с ненулевой суммой. Например, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной из-за избытка яблок, где обе стороны получают выгоду от сделки, находится в ситуации с ненулевой суммой. Другие игры с ненулевой суммой – это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда превышает или не доходит до первоначальной суммы. Концепция парето-оптимальной выгоды в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистичной рациональности – стандарт «наказания оппонента», при котором оба игрока всегда стремятся минимизировать выгоду оппонента, даже ценой собственных потерь, вместо того чтобы стремиться к большему выигрышу. Стандарт «наказания оппонента» применим как к играм с нулевой суммой (например, к военным играм, шахматам), так и к играм с ненулевой суммой (например, к играм с объединением ресурсов). Игрок в игре стремится лишь к максимизации собственной выгоды, а его оппонент – к ее минимизации.

Решение

Для конечных игр с нулевой суммой для двух игроков различные концепции игрового равновесия, такие как равновесие Нэша, минимакс и максимин, приводят к одному и тому же решению. Если игрокам разрешено использовать смешанные стратегии, игра всегда имеет равновесие.

Решение

Равновесие Нэша для двух игрока, игры с нулевой суммой можно найти, решив задачу линейного программирования. Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M, где элемент – это выигрыш, полученный, когда минимизирующий игрок выбирает чистую стратегию i, а максимизирующий игрок выбирает чистую стратегию j (то есть игрок, стремящийся минимизировать выигрыш, выбирает строку, а игрок, стремящийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент M положителен. В игре будет как минимум одно равновесие Нэша. Равновесие Нэша можно найти (Raghavan 1994, p. 740), решив следующую линейную программу для нахождения вектора u:

Первое ограничение указывает, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение указывает, что каждый элемент вектора M u должен быть не меньше 1. Для полученного вектора u обратная величина суммы его элементов является значением игры. Умножение u на это значение дает вектор вероятностей, определяющий вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую возможную чистую стратегию. Если в матрице игры не все элементы положительные, добавьте к каждому элементу константу, достаточно большую, чтобы сделать их все положительными. Это увеличит значение игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии. Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной задачи данной линейной программы. Альтернативно, ее можно найти, используя вышеуказанную процедуру для решения модифицированной матрицы выплат, которая является транспонированной и отрицательной матрицей M (с добавлением константы, чтобы она была положительной), а затем решением полученной игры. Если все решения линейной программы найдены, они составят все равновесия Нэша для игры. И наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в двух игрока, игру с нулевой суммой, используя замену переменных, приводящую ее к форме вышеуказанных уравнений, и таким образом такие игры в целом эквивалентны линейным программам.

Универсальное решение

Если избежание игры с нулевой суммой является вариантом действия с некоторой вероятностью для игроков, то избежание всегда является равновесной стратегией для хотя бы одного игрока в игре с нулевой суммой. Для любой двухсторонней игры с нулевой суммой, где ничья невозможна или недостоверна после начала игры, например, в покере, не существует стратегии Нэша, отличной от избежания игры. Даже если после начала игры с нулевой суммой возможна достоверная ничья, она не превосходит стратегию избежания. В этом смысле интересно, что поиск вознаграждения в процессе оптимального выбора должен превалировать над всеми двухсторонними играми с нулевой суммой в отношении вопроса о начале игры или нет. Наиболее распространенным и простым примером из области социальной психологии является концепция "социальных ловушек". В некоторых случаях стремление к индивидуальным личным интересам может улучшить коллективное благосостояние группы, но в других ситуациях преследование личных интересов всеми сторонами приводит к взаиморазрушительному поведению. В обзоре Копленда отмечается, что n-игровая игра с ненулевой суммой может быть преобразована в (n+1)-игровую игру с нулевой суммой, где (n+1)-й игрок, обозначенный как фиктивный игрок, получает отрицательную сумму выигрышей остальных n игроков (общий выигрыш/убыток).

Игры с нулевой суммой для трех человек

Ясно, что существуют многообразные взаимосвязи между игроками в игре с нулевой суммой для трех участников, а в игре с нулевой суммой для двух участников выигрыш одного игрока неизбежно означает проигрыш другого, и наоборот; следовательно, всегда существует абсолютный антагонизм интересов, и это справедливо и для игры с тремя участниками. Предполагается, что конкретный ход игрока в игре с нулевой суммой для трех участников будет явно выгоден ему, и может оказаться невыгодным для обоих других игроков, либо выгодным для одного и невыгодным для другого.

Исследования показывают, что выход на рынок Гонконга низкобюджетных авиакомпаний принес 671 миллион долларов дохода и вызвал отток капитала в размере 294 миллионов долларов. Поэтому при внедрении новой модели необходимо учитывать эффект замещения, который приведет к экономической утечке и притоку средств. Таким образом, внедрение новых моделей требует осторожности. Например, если количество новых авиакомпаний, прибывающих в аэропорт и вылетающих из него, одинаково, экономический вклад в город-хозяин может оказаться нулевым. Это связано с тем, что для Гонконга потребление иностранных туристов является доходом, а потребление жителей Гонконга в других городах – оттоком капитала. Кроме того, появление новых авиакомпаний может негативно сказаться на существующих авиаперевозчиках. Следовательно, при внедрении новой авиационной модели необходимо проводить всесторонние проверки ее целесообразности, учитывая экономический приток и отток средств, а также эффекты вытеснения, вызванные этой моделью.

Игры с нулевой суммой на финансовых рынках

Торговля деривативами может рассматриваться как игра с нулевой суммой, поскольку каждый доллар, полученный одной стороной в сделке, должен быть потерян другой стороной, что приводит к чистому переносу богатства в размере нуля. Опционный контракт, по которому покупатель приобретает деривативный контракт, предоставляющий ему право купить базовый актив у продавца по определенной цене исполнения до определенной даты истечения срока действия, является примером игры с нулевой суммой. Фьючерсный контракт, в соответствии с которым покупатель приобретает производный контракт на покупку базового актива у продавца по определенной цене в определенную дату, также является примером игры с нулевой суммой. Это связано с тем, что основной принцип этих контрактов заключается в том, что они являются соглашениями между двумя сторонами, и любая прибыль, полученная одной стороной, должна быть компенсирована убытком, понесенным другой стороной. Если цена базового актива увеличивается до даты истечения срока действия, покупатель может реализовать/закрыть опционный/фьючерсный контракт. Прибыль покупателя и соответствующий убыток продавца будут равны разнице между ценой исполнения и стоимостью базового актива на тот момент. Таким образом, чистый перенос богатства равен нулю. Суапы, которые включают в себя обмен денежными потоками от двух различных финансовых инструментов, также считаются игрой с нулевой суммой. Рассмотрим стандартный процентный своп, в котором фирма А платит фиксированную ставку и получает плавающую ставку; соответственно, фирма Б платит плавающую ставку и получает фиксированную ставку. Если ставки растут, то фирма А получит прибыль, а фирма Б потеряет на разнице в ставках (плавающая ставка – фиксированная ставка). Если ставки снижаются, то фирма А потеряет, а фирма Б получит прибыль от разницы ставок (фиксированная ставка – плавающая ставка). Хотя торговля деривативами может рассматриваться как игра с нулевой суммой, важно помнить, что это не абсолютная истина. Финансовые рынки сложны и многогранны, и в них участвуют различные участники, занимающиеся разнообразной деятельностью. Хотя некоторые сделки могут привести к простому переносу богатства от одной стороны к другой, рынок в целом не является чисто конкурентным, и многие сделки выполняют важные экономические функции. Фондовый рынок – отличный пример игры с положительной суммой, часто ошибочно называемой игрой с нулевой суммой. Это – заблуждение нулевой суммы: восприятие того, что один трейдер на фондовом рынке может увеличить стоимость своих активов только в том случае, если другой трейдер уменьшит свои активы. Основная цель фондового рынка – сопоставлять покупателей и продавцов, но преобладающая цена – та, которая уравновешивает спрос и предложение. Цены на акции обычно движутся в соответствии с изменениями в будущих ожиданиях, таких как объявления о приобретениях, неожиданно высокие результаты по прибыли или улучшенные прогнозы. Например, если компания C объявляет о сделке по приобретению компании D, и инвесторы считают, что приобретение приведет к синергии и, следовательно, к увеличению прибыльности компании C, спрос на акции компании C возрастет. В этом сценарии все существующие держатели акций компании C получат прибыль, не неся никаких соответствующих измеримых убытков для других игроков. Кроме того, в долгосрочной перспективе фондовый рынок – это игра с положительным результатом. По мере экономического роста увеличивается спрос, увеличивается объем производства, растут компании, а стоимость компаний увеличивается, что приводит к созданию стоимости и увеличению богатства на рынке.

Сложность

Роберт Райт в своей книге Nonzero: The Logic of Human Destiny предположил, что по мере усложнения, специализации и взаимозависимости общества, оно все больше переходит от игр с нулевой суммой к играм с ненулевой суммой.

Расширения

В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой с n+1 игроками, где (n+1)-й игрок представляет общую прибыль или убыток.

Недоразумения

Игры с нулевой суммой и, в особенности, их решения часто неправильно понимаются критиками теории игр, как правило, в отношении независимости и рациональности игроков, а также интерпретации функций полезности. Более того, слово "игра" не подразумевает, что модель применима только к играм в обычном понимании. Политику иногда называют игрой с нулевой суммой, поскольку в повседневном употреблении идея патовой ситуации воспринимается как "нулевая сумма"; однако политика и макроэкономика не являются играми с нулевой суммой, так как не представляют собой замкнутые системы.

Мышление с нулевой суммой

В психологии, мышление в рамках нулевой суммы относится к восприятию ситуации как игры с нулевой суммой, где выигрыш одного человека эквивалентен проигрышу другого.