Введение
Математическая рекурсивная последовательность
В математике аликвотная последовательность — это последовательность положительных целых чисел, в которой каждый член является суммой собственных делителей предыдущего члена. Если последовательность достигает числа 1, она завершается, поскольку сумма собственных делителей числа 1 равна 0.
Каталонский Гипотеза Диксона
Важная гипотеза, сформулированная Катаном, иногда называемая гипотезой Каталана — Диксона, утверждает, что каждая аликвотная последовательность завершается одним из вышеперечисленных способов: простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел. Альтернативой было бы существование числа, чья аликвотная последовательность бесконечна и никогда не повторяется. Любое из множества чисел, чьи аликвотные последовательности не были полностью определены, может быть таким числом. Первые пять кандидатов часто называют «пятеркой Лемера» (в честь Д. Х. Лемера): 276, 552, 564, 660 и 966. Однако стоит отметить, что 276 может достичь высокой точки в своей аликвотной последовательности, а затем уменьшиться; число 138 достигает пика в 179931895322 перед возвращением к 1. Гай и Селфридж полагают, что гипотеза Каталана — Диксона неверна (то есть они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности не ограничены сверху и расходятся). По состоянию на апрель 2015 года было 898 положительных целых чисел меньше 100 000, чьи аликвотные последовательности не были полностью определены, и 9190 таких целых чисел меньше 1 000 000.
Систематический поиск последовательностей аликвот
Аликотная последовательность может быть представлена в виде ориентированного графа , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей числа. Циклы в этом графе представляют собой дружественные числа в заданном интервале. Два особых случая – это петли, представляющие совершенные числа, и циклы длиной два, представляющие дружественные пары.