Введение
Тип фигурного числа
Шестиугольное число — это фигурное число. n-е шестиугольное число hn — это количество различных точек в узорной системе точек, состоящей из контуров правильных шестиугольников со сторонами до n точек, когда шестиугольники накладываются так, что они имеют одну вершину. Формула для n-го шестиугольного числа:
Первые несколько шестиугольных чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946
Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но только каждое второе треугольное число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е и т. д.) — это шестиугольное число. Как и треугольное число, цифровая корень в десятичной системе счисления шестиугольного числа может быть только 1, 3, 6 или 9. Шаблон цифровых корней, повторяющийся каждые девять членов, — "1 6 6 1 9 3 1 3 9". Каждое чётное совершенное число является шестиугольным и задаётся формулой
где Mp — простое число Мерсенна. Неизвестно ни одного нечётного совершенного числа, следовательно, все известные совершенные числа являются шестиугольными. Например, второе шестиугольное число равно 2×3 = 6; четвёртое — 4×7 = 28; шестнадцатое — 16×31 = 496; а шестьдесят четвёртое — 64×127 = 8128. Наибольшее число, которое нельзя представить в виде суммы не более чем четырёх шестиугольных чисел, — это 130. Адриен Мари Лежандр доказал в 1830 году, что любое целое число, большее 1791, можно выразить таким образом. Кроме того, только два целых числа нельзя выразить с использованием пяти шестиугольных чисел (но можно с помощью шести), а именно 11 и 26. Шестиугольные числа не следует путать с центрированными шестиугольными числами, которые моделируют стандартную упаковку венских сосисок. Чтобы избежать двусмысленности, шестиугольные числа иногда называют «угловыми шестиугольными числами».
Сумма взаимных шестиугольных чисел
Сумма обратных шестиугольных чисел равна 2ln(2), где ln обозначает натуральный логарифм.
Числа делителей степеней некоторых натуральных чисел
для n>0 имеет делителей. Аналогично, для любого натурального числа вида, где p и q – различные простые числа, для n>0 имеет делителей. Доказательство. Число имеет делители вида , для k = 0, 1, …, 2(n − 1), l = 0, 1, …, n − 1. Каждая комбинация k и l дает различный делитель, следовательно, число имеет (2n) делителей, то есть делителей. ∎
Шестиугольные квадратные числа
Последовательность чисел, являющихся одновременно шестиугольными и полными квадратами, начинается с 1, 1225, 1413721…