Введение
Прошедшее время между двумя событиями, измеряемое часами, проходящими через оба события. В теории относительности, собственное время (от латинского *proper*, означающее «собственное») вдоль мировой линии, подобной времени, определяется как время, измеряемое часами, движущимися вдоль этой линии. Интервал собственного времени между двумя событиями на мировой линии – это изменение собственного времени, которое не зависит от системы координат и является инвариантом Лоренца. Этот интервал представляет наибольший интерес, поскольку само собственное время определяется лишь с точностью до произвольной аддитивной константы, то есть установки часов в каком-либо событии на мировой линии. Интервал собственного времени между двумя событиями зависит не только от самих событий, но и от мировой линии, соединяющей их, а следовательно, от движения часов между этими событиями. Он выражается в виде интеграла по мировой линии (аналогично длине дуги в евклидовом пространстве). Ускоренные часы измерят меньший интервал времени между двумя событиями, чем не ускоренные (инерциальные) часы между теми же событиями. Парадокс близнецов является примером этого эффекта. По соглашению, собственное время обычно обозначается греческой буквой τ (тау), чтобы отличать его от координатного времени, обозначаемого t. Координатное время – это время между двумя событиями, измеренное наблюдателем, использующим свой собственный метод определения времени события. В частном случае инерциального наблюдателя в специальной теории относительности время измеряется с использованием часов наблюдателя и его определения одновременности. Концепция собственного времени была введена Германом Минковским в 1908 году и является важной характеристикой диаграмм Минковского.
In relativity, proper time (from Latin, meaning own time) along a timelike world line is defined as the time as measured by a clock following that line. The proper time interval between two events on a world line is the change in proper time, which is independent of coordinates, and is a Lorentz scalar. The interval is the quantity of interest, since proper time itself is fixed only up to an arbitrary additive constant, namely the setting of the clock at some event along the world line. The proper time interval between two events depends not only on the events, but also the world line connecting them, and hence on the motion of the clock between the events. It is expressed as an integral over the world line (analogous to arc length in Euclidean space). An accelerated clock will measure a smaller elapsed time between two events than that measured by a non accelerated (inertial) clock between the same two events. The twin paradox is an example of this effect. By convention, proper time is usually represented by the Greek letter τ (tau) to distinguish it from coordinate time represented by t. Coordinate time is the time between two events as measured by an observer using that observer's own method of assigning a time to an event. In the special case of an inertial observer in special relativity, the time is measured using the observer's clock and the observer's definition of simultaneity. The concept of proper time was introduced by Hermann Minkowski in 1908, and is an important feature of Minkowski diagrams.
Математический формализм
Формальное определение собственного времени включает описание траектории в пространстве-времени, представляющей часы, наблюдателя или пробную частицу, а также метрическую структуру этого пространства-времени. Собственное время – это псевдориманова длина дуги мировых линий в четырехмерном пространстве-времени. С математической точки зрения, координатное время считается предопределенным, и требуется выражение для собственного времени как функции координатного времени. Однако, собственное время измеряется экспериментально, а координатное время вычисляется на основе собственного времени инерциальных часов. Собственное время может быть определено только для времениподобных траекторий в пространстве-времени, позволяющих построить соответствующий набор физических измерительных приборов и часов. Применение того же формализма к пространственноподобным траекториям приводит к измерению собственного расстояния, а не собственного времени. Для светоподобных траекторий понятие собственного времени не существует и оно не определено, поскольку интервал пространства-времени равен нулю. Вместо этого необходимо вводить произвольный и физически нерелевантный аффинный параметр, не связанный со временем.
Пример 1: "Парадокс" близнецов
Для сценария парадокса близнецов, пусть будет наблюдатель А, который инерциально движется между координатами А (0,0,0,0) и (10 лет, 0, 0, 0). Это означает, что А остаётся в покое в течение 10 лет времени в системе координат А. Таким образом, "нахождение в покое" в системе координат специальной теории относительности означает, что собственное время и время координат совпадают. Пусть теперь будет другой наблюдатель B, который движется в направлении x от (0,0,0,0) в течение 5 лет времени в системе координат А со скоростью 0,866c до точки (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0). Достигнув этой точки, B ускоряется и движется в противоположном направлении в течение ещё 5 лет времени в системе координат А до точки (10 лет, 0, 0, 0). Для каждого участка пути собственный временной интервал может быть вычислен, используя координаты А, и задаётся следующим образом: общее собственное время для наблюдателя B, чтобы переместиться из (0,0,0,0) в (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0), а затем в (10 лет, 0, 0, 0), равно. Таким образом, показано, что уравнение собственного времени учитывает эффект замедления времени. Фактически, для объекта в пространстве-времени специальной теории относительности, движущегося со скоростью v в течение времени t, испытываемый собственный временной интервал равен, что является формулой замедления времени в специальной теории относительности.
So being "at rest" in a special relativity coordinate system means that proper time and coordinate time are the same. Let there now be another observer B who travels in the x direction from (0,0,0,0) for 5 years of A coordinate time at 0.866c to (5 years, 4.33 light years, 0, 0). Once there, B accelerates, and travels in the other spatial direction for another 5 years of A coordinate time to (10 years, 0, 0, 0). For each leg of the trip, the proper time interval can be calculated using A coordinates, and is given by
So the total proper time for observer B to go from (0,0,0,0) to (5 years, 4.33 light years, 0, 0) and then to (10 years, 0, 0, 0) is
Thus it is shown that the proper time equation incorporates the time dilation effect. In fact, for an object in a SR (special relativity) spacetime traveling with velocity for a time , the proper time interval experienced is
which is the SR time dilation formula.
Примеры в общей теории относительности
Разница между специальной теорией относительности (SR) и общей теорией относительности (GR) состоит в том, что в GR можно использовать любую метрику, являющуюся решением уравнений Эйнштейна, а не только метрику Минковского. Поскольку инерциальное движение в искривлённом пространстве-времени не обладает простым выражением, как в SR, необходимо всегда использовать интегральную форму записи уравнения собственного времени.