Введение

Парадокс об наименьшем неинтересном числе – это юмористический парадокс, возникающий при попытке классифицировать каждое натуральное число как «интересное» или «неинтересное». Парадокс утверждает, что любое натуральное число интересно. «Доказательство» строится методом от противного: если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то в нём должно быть наименьшее неинтересное число, – но само наименьшее неинтересное число является интересным, поскольку оно является наименьшим неинтересным числом, что приводит к противоречию. «Интересность» чисел не является формальным понятием в обычном смысле, однако у некоторых теоретиков чисел существует интуитивное представление об «интересности». Известно, что в дискуссии между математиками Г. Х. Харди и Шриниваса Рамануджаном об интересных и неинтересных числах Харди заметил, что номер такси 1729 показался ему «довольно скучным», на что Рамануджан немедленно ответил, что это число интересно, так как является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Парадоксальный характер

Попытка классифицировать все числа таким образом приводит к парадоксу или антиномии определения. Любое гипотетическое разделение натуральных чисел на интересные и неинтересные множества, по-видимому, терпит неудачу. Поскольку определение "интересно" обычно является субъективным, интуитивным понятием, его следует понимать как полуюмористическое применение самоотсылки для получения парадокса. Парадокс ослабевает, если "интересное" определяется объективно: например, наименьшее натуральное число, не встречающееся в записи Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS), первоначально было найдено равным 11630 12 июня 2009 года. Число, соответствующее этому определению, позже стало 12407 с ноября 2009 года по крайней мере до ноября 2011 года, затем 13794 с апреля 2012 года, пока не появилось в последовательности 3 ноября 2012 года. С ноября 2013 года это число составляло 14228, по крайней мере, до 14 апреля 2014 года. Например, последовательность всех натуральных чисел, и при неограниченном продолжении она содержала бы все положительные целые числа. В текущем виде последовательность записана в ее записи только до 77.) В зависимости от источников, используемых для списка интересных чисел, различные другие числа также могут быть охарактеризованы как неинтересные. Например, математик и философ Алекс Беллос предположил в 2014 году, что кандидатом на наименьшее неинтересное число было бы 224, поскольку на тот момент это было "наименьшее число, не имеющее собственной страницы в [английской версии] Википедии". Однако, поскольку в математике существует множество значимых результатов, использующих самоотсылку (таких как теоремы о неполноте Гёделя), парадокс иллюстрирует силу самоотсылки и, следовательно, затрагивает серьезные вопросы во многих областях исследования. Парадокс можно напрямую связать с теоремами о неполноте Гёделя, если определить "интересное" число как число, которое может быть вычислено программой, содержащей меньше битов, чем само число. Аналогично, вместо того чтобы пытаться количественно оценить субъективное ощущение интересности, можно рассмотреть длину фразы, необходимой для определения числа. Например, фраза "наименьшее число, не выразимое менее чем в одиннадцати словах" кажется, должна идентифицировать уникальное число, но сама фраза содержит всего десять слов, и, следовательно, число, идентифицированное фразой, будет иметь выражение менее чем в одиннадцати словах. Это известно как парадокс Берри.

История

В 1945 году Эдвин Ф. Беккенбах опубликовал короткое письмо в журнале "The American Mathematical Monthly", в котором предположил, что для каждого положительного целого числа можно найти какой-либо интересный факт. Далее приводится «доказательство от индукции», подтверждающее это. Безусловно, 1, являясь делителем любого положительного целого числа, подходит под это определение, как и 2 – наименьшее простое число, 3 – наименьшее нечётное простое число, 4 – число Бибербаха и так далее. Предположим, что множество S, состоящее из положительных целых чисел, для которых не существует интересного факта, не является пустым, и пусть k – наименьший элемент этого множества. Но сам этот факт относительно k уже является весьма интересным! Следовательно, множество S не имеет наименьшего элемента и, таким образом, является пустым. Является ли это доказательство корректным? Констанс Рид включила этот парадокс в первое издание своей популярной книги по математике "От нуля до бесконечности" в 1955 году, но исключила его из последующих изданий. Мартин Гарднер представил этот парадокс как «софизм» в своей колонке в журнале Scientific American в 1958 году, включив его в число шести других «поразительных утверждений», чьи кажущиеся доказательства также содержали тонкие ошибки. В 1977 году Грег Чейтин сослался на формулировку парадокса, данную Гарднером, и указал на его связь с более ранним парадоксом Бертранда Рассела, касающимся существования наименьшего неопределимого ординала (несмотря на то, что любое множество ординалов имеет наименьший элемент, а выражение «наименьший неопределимый ординал» само по себе выглядит как определение). В "Словаре любопытных и интересных чисел" (1987) Дэвид Уэллс заметил, что 39 «кажется, является первым неинтересным числом», что делает его «особенно интересным», и, следовательно, 39 должно быть одновременно и интересным, и скучным.