Ең кішкентай қызықты емес сан туралы

Кіріспе

Қызықты сан парадоксы – әрбір табиғи санды «қызықты» немесе «қызықсыз» деп жіктеу әрекетінен туындайтын әзіл парадокс. Парадокс барлық табиғи санның қызықты екенін айтады. «Дәлелдеме» қарама-қайшылыққа негізделген: егер қызықты емес табиғи сандардың бос емес жиынтығы болса, онда ең кішкентай қызықты емес сан болады – бірақ ең кішкентай қызықты емес сан өзі қызықты, себебі ол ең кішкентай қызықты емес сан, осылайша қарама-қайшылық туындайды. Сандарға қатысты «қызықтылық» – бұл қалыпты жағдайда формалды ұғым емес, бірақ кейбір сандар теориясымен айналысатын мамандар арасында «қызықтылық» деген ішкі сезім бар сияқты. Белгілі бір оқиғада математиктер Г.Х. Харди мен Шриниваса Раманужан қызықты және қызықсыз сандар туралы талқылағанда, Харди таксиде кездескен 1729 санының «өте қарапайым» көрінетінін айтты, ал Раманужан дереу оның қызықты екенін, себебі ол екі әртүрлі тәсілмен екі кубтың қосындысы болатын ең кіші сан екенін жауап берді.

Парадоксалды сипаты

Барлық сандарды осылай жіктеу парадокс немесе анықтаманың антономиясына әкеледі. Табиғи сандарды қызықты және қызықты емес жиынтарға гипотетикалық бөлу сәтсіз болып көрінеді. «Қызықты» деген анықтама әдетте субъективті, интуитивті ұғым болғандықтан, парадокс алу үшін өзін-өзі сілтеудің жартылай күлкілі қолданылуы ретінде түсіну керек. Парадокс «қызықты» дегенді объективті түрде анықтаса жеңілдетіледі: мысалы, On Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) кітабында кездеспейтін ең кіші табиғи сан бастапқыда 2009 жылдың 12 маусымында 11630 болып табылған. Бұл анықтамаға сәйкес келетін сан 2009 жылдың қарашасынан 2011 жылдың қарашасына дейін 12407 болды, содан кейін 2012 жылдың сәуірінен бастап 13794 болды, ал 2012 жылдың 3 қарашасынан бастап тізбекте пайда болды. 2013 жылдың қарашасынан бастап бұл көрсеткіш 14228 болды, кем дегенде 2014 жылдың 14 сәуіріне дейін. Мысалы, барлық табиғи сандардың тізбегі, егер оны шексіз жалғастырса, барлық оң бүтін сандарды қамтиды. Қазіргі уақытта тізбек тек 77-ге дейін жазылған.) Қызықты сандар тізіміне қолданылатын дереккөздерге байланысты, басқа да сандардың әртүрлілігі бірдей қызықты емес деп сипатталуы мүмкін. Мысалы, математик және философ Алекс Беллос 2014 жылы ең төменгі қызықты емес санға үміткер 224 болуы мүмкін деп ұсынды, өйткені ол сол кезде «Википедияның [ағылшын тіліндегі нұсқасында] жеке беті жоқ ең төменгі сан» болды. Алайда, математикада өзін-өзі сілтеуді пайдаланатын көптеген маңызды нәтижелер бар (мысалы, Гёдельдің толық емес теоремалары), парадокс өзін-өзі сілтеудің кейбір күшін көрсетеді және осылайша көптеген зерттеу салаларындағы күрделі мәселелерге қатысты. Парадокс тікелей Гёдельдің толық емес теоремаларымен байланысты болуы мүмкін, егер «қызықты» санды санның өзінен аз биттен тұратын бағдарламамен есептеуге болатын сан ретінде анықтаса. Сол сияқты, қызықтылықтың субъективті сезімін өлшеуге тырысудың орнына, санды анықтау үшін қажетті сөз тіркесінің ұзындығын қарастыруға болады. Мысалы, «он бір сөзден кем сөзбен берілмейтін ең кіші сан» деген сөз тіркесі бірегей санды анықтағандай естіледі, бірақ сөз тіркесі тек он сөзден тұрады, сондықтан сөз тіркесімен анықталған сан он бір сөзден кем сөзбен беріледі. Бұл Берридің парадоксы деп аталады.

Attempting to classify all numbers this way leads to a paradox or an antinomy of definition. Any hypothetical partition of natural numbers into interesting and uninteresting sets seems to fail. Since the definition of interesting is usually a subjective, intuitive notion, it should be understood as a semi humorous application of self reference in order to obtain a paradox. The paradox is alleviated if "interesting" is instead defined objectively: for example, the smallest natural number that does not appear in an entry of the On Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) was originally found to be 11630 on 12 June 2009. The number fitting this definition later became 12407 from November 2009 until at least November 2011, then 13794 as of April 2012, until it appeared in sequence as of 3 November 2012. Since November 2013, that number was 14228, at least until 14 April 2014. For instance, is the sequence of all natural numbers, and if continued indefinitely would contain all positive integers. As it is, the sequence is recorded in its entry only as far as 77.) Depending on the sources used for the list of interesting numbers, a variety of other numbers can be characterized as uninteresting in the same way. For instance, the mathematician and philosopher Alex Bellos suggested in 2014 that a candidate for the lowest uninteresting number would be 224 because it was, at the time, "the lowest number not to have its own page on [the English language version of] Wikipedia". However, as there are many significant results in mathematics that make use of self reference (such as Gödel's incompleteness theorems), the paradox illustrates some of the power of self reference, and thus touches on serious issues in many fields of study. The paradox can be related directly to Gödel's incompleteness theorems if one defines an "interesting" number as one that can be computed by a program that contains fewer bits than the number itself. Similarly, instead of trying to quantify the subjective feeling of interestingness, one can consider the length of a phrase needed to specify a number. For example, the phrase "the least number not expressible in fewer than eleven words" sounds like it should identify a unique number, but the phrase itself contains only ten words, and so the number identified by the phrase would have an expression in fewer than eleven words after all. This is known as the Berry paradox.

Тарих

1945 жылы Эдвин Ф. Беккенбах «Американдық математикалық айлық» журналында қысқа хат жариялап, әрбір оң бүтін санға қатысты қызықты факт бар деген болжамды ұсынды. Міне, мұндай жағдайдың «индукция арқылы дәлелдемесі». Әрине, әрбір оң бүтін санның бөлгіші болып табылатын 1, сондай-ақ 2 – ең кіші жай сан; 3 – ең кіші тақ жай сан; 4 – Бибербах саны; және т.б. Егер S жиынында әрқайсысы туралы қызықты факт жоқ оң бүтін сандар болса, және k – S жиынының ең кіші мүшесі болсын. Бірақ бұл k туралы ең қызықты факт! Демек, S жиынында ең кіші мүше жоқ, сондықтан ол бос жиын. Бұл дәлел дұрыс па? Констанс Рид бұл парадоксты өзінің танымал математикалық кітабының 1955 жылғы бірінші басылымында «Нөлден шексіздікке дейін» кітабына енгізді, бірақ кейінгі басылымдардан алып тастады. Мартин Гарднер 1958 жылы «Scientific American» журналында бұл парадоксты «қателік» деп таныстырды, оның ішінде дәлелдері де қате болған тағы алты «таң қалдыратын тұжырымдама» бар еді. 1977 жылы Грег Чейтин Гарднердің парадокс туралы айтқанын атап өтіп, оның Бертран Расселдің ең кішкентай анықталмаған ординалдың болуы туралы бұрынғы парадоксымен байланысын көрсетті (барлық ординалдар жиынының ең кішкентай элементі бар екеніне қарамастан және «ең кішкентай анықталмаған ординал» анықтама сияқты көрінеді). Дэвид Уэллс 1987 жылғы «The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» еңбегінде 39-ды «бірінші қызықсыз сан» деп атады, бұл факт оны «әсіресе қызықты» етті, сондықтан 39 бір мезгілде қызықты да, жайсыз да болуы керек.