Введение
В математике, в частности в теории модулярных форм, оператор Геке, исследованный , является определенным типом оператора, выполняющего своего рода "усреднение", который играет важную роль в структуре векторных пространств модулярных форм и более общих автоморфных представлений.
Математическое описание
Операторы Хекке могут быть реализованы в различных контекстах. Наиболее простое понимание – комбинаторное, а именно, для заданного целого числа n брать некоторую функцию f(Λ), определенную на решетках фиксированного ранга, и вычислять ее как сумму по всем Λ′, являющимся подгруппами Λ индекса n. Например, при n=1=2 и двух измерениях существует три таких Λ′. Модульные формы – это особый вид функций от решетки, удовлетворяющих условиям, делающим их аналитическими функциями и однородными относительно гомотетий, а также умеренно растущими на бесконечности; эти условия сохраняются при суммировании, поэтому операторы Хекке сохраняют пространство модульных форм заданного веса. Другой способ представления операторов Хекке – через двойные косеты в модульной группе. В современном аделическом подходе это выражается как двойные косеты относительно некоторых компактных подгрупп.
with the sum taken over all the Λ′ that are subgroups of Λ of index n. For example, with 1=n=2 and two dimensions, there are three such Λ′. Modular forms are particular kinds of functions of a lattice, subject to conditions making them analytic functions and homogeneous with respect to homotheties, as well as moderate growth at infinity; these conditions are preserved by the summation, and so Hecke operators preserve the space of modular forms of a given weight. Another way to express Hecke operators is by means of double cosets in the modular group. In the contemporary adelic approach, this translates to double cosets with respect to some compact subgroups.
Алгебры Гекка
Алгебры операторов Гекке называются "алгебрами Гекке" и являются коммутативными кольцами. В классической эллиптической теории модулярных форм операторы Гекке Tn, где n взаимно просто с уровнем, действующие на пространство куспидных форм заданного веса, самосопряжены относительно внутреннего произведения Петерссона. Следовательно, спектральная теорема подразумевает существование базиса модулярных форм, являющихся собственными функциями для этих операторов Гекке. Каждая из этих базисных форм обладает произведением Эйлера. Более точно, её преобразование Мелина — это ряд Дирихле, имеющий произведения Эйлера, где локальный фактор для каждого простого числа p является обратным к многочлену Гекке, квадратичному многочлену относительно p^(-s). В случае, рассмотренном Морделлом, пространство куспидных форм веса 12 относительно полной модулярной группы является одномерным. Отсюда следует, что форма Рамануджана имеет произведение Эйлера и устанавливает мультипликативность τ(n). Другие связанные математические кольца также называются "алгебрами Гекке", хотя иногда связь с операторами Гекке не вполне очевидна. Эти алгебры включают в себя некоторые фактор-алгебры групповых алгебр кос. Наличие этой коммутативной алгебры операторов играет важную роль в гармоническом анализе модулярных форм и их обобщениях.