Кіріспе
Математикада, әсіресе модульдік формалар теориясында, Hecke операторы – модульдік формалардың векторлық кеңістіктерінің құрылымында және одан да жалпы автоморфты өкілдіктерде маңызды рөл атқаратын белгілі бір "ортақ мәнді есептеу" операторы.
Математикалық сипаттама
Хекке операторларын көптеген жағдайларда қолдануға болады. Ең қарапайым түсінігі – комбинаторлық, яғни берілген бүтін сан n үшін, белгілі бір функция f(Λ) нақты реті берілген торлар жиынында анықталады:
with the sum taken over all the Λ′ that are subgroups of Λ of index n. For example, with 1=n=2 and two dimensions, there are three such Λ′. Modular forms are particular kinds of functions of a lattice, subject to conditions making them analytic functions and homogeneous with respect to homotheties, as well as moderate growth at infinity; these conditions are preserved by the summation, and so Hecke operators preserve the space of modular forms of a given weight. Another way to express Hecke operators is by means of double cosets in the modular group. In the contemporary adelic approach, this translates to double cosets with respect to some compact subgroups.
∑ f(Λ′)
with the sum taken over all the Λ′ that are subgroups of Λ of index n. For example, with 1=n=2 and two dimensions, there are three such Λ′. Modular forms are particular kinds of functions of a lattice, subject to conditions making them analytic functions and homogeneous with respect to homotheties, as well as moderate growth at infinity; these conditions are preserved by the summation, and so Hecke operators preserve the space of modular forms of a given weight. Another way to express Hecke operators is by means of double cosets in the modular group. In the contemporary adelic approach, this translates to double cosets with respect to some compact subgroups.
мұндағы қосынды Λ-ның n индексті кіші топтары болып табылатын барлық Λ′ бойынша алынады. Мысалы, егер n=1=2 және өлшемдер саны екі болса, онда мұндай Λ′ үш болады. Модульдік формалар – бұл тордың функцияларының ерекше түрлері, олар аналитикалық функциялар болу шартына, гомотетияларға қатысты біртектілікке және шексіздікте орташа өсуге бағынады; осы шарттар қосындылау арқылы сақталады, сондықтан Хекке операторлары берілген салмақтың модульдік формалар кеңістігін сақтайды. Хекке операторларын модульдік топтағы қос косеттер арқылы да өрнектеуге болады. Қазіргі заманғы аделикалық тәсілде бұл кейбір ықшам кіші топтарға қатысты қос косеттерге ауысады.
with the sum taken over all the Λ′ that are subgroups of Λ of index n. For example, with 1=n=2 and two dimensions, there are three such Λ′. Modular forms are particular kinds of functions of a lattice, subject to conditions making them analytic functions and homogeneous with respect to homotheties, as well as moderate growth at infinity; these conditions are preserved by the summation, and so Hecke operators preserve the space of modular forms of a given weight. Another way to express Hecke operators is by means of double cosets in the modular group. In the contemporary adelic approach, this translates to double cosets with respect to some compact subgroups.
Гекке алгебрасы
Гекке операторларының алгебралары "Гекке алгебралары" деп аталады және олар коммутативті сақиналар болып табылады. Классикалық эллипстік модульдік формалар теориясында, берілген салмақтың құйрық формалары кеңістігіне әсер ететін және деңгейге өзімен жақын сан н болатын Hecke операторлары Tn, Петерсон ішкі көбейтіндісіне қатысты өздік операторлар болып табылады. Сондықтан, спектрлік теорема осы Hecke операторлары үшін өзіндік функциялар болып табылатын модульдік формалардың негізі бар екенін көрсетеді. Осы негізгі формалардың әрқайсысы Эйлер көбейтіндісіне ие. Нақтырақ айтқанда, оның Меллин түрлендіруі – бұл Эйлер өнімдері бар Дирихле қатары, және әрбір жай сан p үшін жергілікті фактор – p^(-s) бойынша квадраттық полином түріндегі Hecke полиномының кері шамасы. Морделл қарастырған жағдайда, толық модульдік топқа қатысты салмағы 12 болатын құйрық формалар кеңістігі бір өлшемді болып табылады. Осыдан Раманужан формасы Эйлер көбейтіндісіне ие және τ(n) көбейтілгіштігін анықтайды. Кейде Hecke операторларымен байланысы толыққанды түсініксіз болғанымен, басқа да математикалық сақиналар "Гекке алгебралары" деп аталады. Бұл алгебралар тораптық алгебралардың белгілі бір бөліктерін де қамтиды. Бұл коммутативті операторлық алгебраның болуы модульдік формалардың және олардың жалпыламаларының гармоникалық талдауында маңызды рөл атқарады.