Введение
Непрерывное распределение вероятности
В теории вероятностей и статистике логистическое распределение — это непрерывное распределение вероятностей. Его функция кумулятивного распределения — логистическая функция, которая используется в логистической регрессии и прямых нейронных сетях. Оно похоже по форме на нормальное распределение, но имеет более «тяжелые хвосты» (больший эксцесс). Логистическое распределение является частным случаем распределения Тьюки лямбда.
Кумулятивная функция распределения
Логистическое распределение получило своё название от своей кумулятивной функции распределения, которая является частным случаем семейства логистических функций. Кумулятивная функция распределения логистического распределения также представляет собой масштабированную версию гиперболического тангенса. В данной формуле μ — математическое ожидание, а s — параметр масштаба, пропорциональный стандартному отклонению.
Квантильная функция
Обратная кумулятивная функция распределения (квантильная функция) логистического распределения является обобщением функции логита. Её производная называется функцией плотности квантиля. Они определяются следующим образом:
Альтернативная параметризация
Альтернативная параметризация логистического распределения может быть получена, выразив параметр масштаба *b* через стандартное отклонение *σ*, используя подстановку *b* = *σ* / √3, где *σ* – стандартное отклонение. Альтернативные формы вышеуказанных функций достаточно прямолинейны.
Приложения
Логистическое распределение, а также S-образная форма его функции кумулятивного распределения (логистическая функция) и квантильной функции (логитная функция), широко применялись в самых разных областях.
Логистическая регрессия
Одно из наиболее распространенных применений – логистическая регрессия, которая используется для моделирования категориальных зависимых переменных (например, выбор «да» или «нет», или выбор из 3 или 4 вариантов), подобно тому, как стандартная линейная регрессия используется для моделирования непрерывных переменных (например, доход или численность населения). В частности, модели логистической регрессии можно представить в виде моделей латентных переменных с переменными ошибок, подчиняющимися логистическому распределению. Такая формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора, где логистическое распределение играет ту же роль в логистической регрессии, что и нормальное распределение в пробит-регрессии. Действительно, логистическое и нормальное распределения имеют довольно схожую форму. Однако логистическое распределение имеет более «тяжелые» хвосты, что часто повышает устойчивость анализов, основанных на нем, по сравнению с использованием нормального распределения.
Физика
PDF этого распределения имеет ту же функциональную форму, что и производная функции Ферми. В теории свойств электронов в полупроводниках и металлах эта производная определяет относительный вклад различных энергий электронов в электронный транспорт. Энергетические уровни, энергии которых наиболее близки к "средней" энергии распределения (уровню Ферми), доминируют в процессах, таких как электронная проводимость, с некоторым размытием, обусловленным температурой. Однако важно отметить, что соответствующее распределение вероятностей в статистике Ферми-Дирака фактически является простым распределением Бернулли, где фактором вероятности служит функция Ферми. Логистическое распределение возникает как предельное распределение затухающего случайного движения с конечной скоростью, описываемого телеграфным процессом, в котором случайные интервалы времени между последовательными изменениями скорости имеют независимые экспоненциальные распределения с линейно возрастающими параметрами.
Гидрология
В гидрологии распределение длительных речных расходов и осадков (например, месячные и годовые суммы, состоящие из суммы 30 и 360 суточных значений соответственно) часто рассматривается как почти нормальное в соответствии с центральной предельной теоремой. Однако нормальному распределению требуется численное приближение. Поскольку логистическое распределение, которое можно решить аналитически, близко к нормальному, его можно использовать в качестве альтернативы. Синий рисунок иллюстрирует пример подгонки логистического распределения к ранжированным октябрьским осадкам, которые имеют почти нормальное распределение, и показывает 90%-ный доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении. Данные об осадках представлены в виде позиций при кумулятивном частотном анализе.
Рейтинги в шахматах
Федерация шахмат США и ФИДЕ изменили формулу расчёта шахматных рейтингов с нормального распределения на логистическое; подробности – в статье о рейтинговой системе Эло (которая сама основана на нормальном распределении).