Введение
В статистике принцип правдоподобия – это утверждение, что при заданной статистической модели все данные выборки, имеющие отношение к параметрам модели, содержатся в функции правдоподобия. Функция правдоподобия возникает из функции плотности вероятности, рассматриваемой как функция ее параметризации распределения. Например, рассмотрим модель, которая задает функцию плотности вероятности наблюдаемой случайной величины как функцию параметра. Тогда для конкретного значения , функция является функцией правдоподобия: она дает меру того, насколько "правдоподобным" является любое конкретное значение , если известно, что имеет значение . Функция плотности может быть плотностью относительно счетной меры, то есть функцией массы вероятности. Две функции правдоподобия эквивалентны, если одна является скалярным кратным другой. Принцип правдоподобия гласит: вся информация из данных, имеющая отношение к выводам о значениях параметров модели, содержится в классе эквивалентности, которому принадлежит функция правдоподобия. Принцип сильного правдоподобия применяет тот же критерий к случаям, таким как последовательные эксперименты, когда выборка доступных данных является результатом применения правила остановки к наблюдениям, полученным ранее в ходе эксперимента.
In statistics, the likelihood principle is the proposition that, given a statistical model, all the evidence in a sample relevant to model parameters is contained in the likelihood function. A likelihood function arises from a probability density function considered as a function of its distributional parameterization argument. For example, consider a model which gives the probability density function of observable random variable as a function of a parameter Then for a specific value of , the function is a likelihood function of : it gives a measure of how "likely" any particular value of is, if we know that has the value The density function may be a density with respect to counting measure, i. e. a probability mass function. Two likelihood functions are equivalent if one is a scalar multiple of the other. The likelihood principle is this: All information from the data that is relevant to inferences about the value of the model parameters is in the equivalence class to which the likelihood function belongs. The strong likelihood principle applies this same criterion to cases such as sequential experiments where the sample of data that is available results from applying a stopping rule to the observations earlier in the experiment.
Закон вероятности
Связанная концепция – это закон правдоподобия, идея о том, что степень, в которой данные подтверждают одно значение параметра или гипотезу по сравнению с другой, определяется отношением их правдоподобий, их коэффициентом правдоподобия. То есть,
это мера того, насколько наблюдение x подтверждает значение параметра или гипотезу a по сравнению с b. Если это отношение равно 1, данные не дают предпочтения; если больше 1, данные подтверждают значение a по сравнению с b; если меньше – то наоборот. В байесовской статистике это отношение известно как фактор Байеса, а правило Байеса можно рассматривать как применение закона правдоподобия к выводам. В частотной статистике коэффициент правдоподобия используется в тесте отношения правдоподобия, но также применяются и другие тесты, не основанные на правдоподобии. Лемма Неймана-Пирсона утверждает, что тест отношения правдоподобия обладает такой же статистической мощностью, как и наиболее мощный тест для сравнения двух простых гипотез при заданном уровне значимости, что дает частотное обоснование закона правдоподобия. Комбинирование принципа правдоподобия с законом правдоподобия приводит к выводу, что значение параметра, максимизирующее функцию правдоподобия, является наиболее подтвержденным данными. Это лежит в основе широко используемого метода максимального правдоподобия.
Аргументы за и против
Некоторые широко используемые методы классической статистики, например, многие критерии значимости, не согласуются с принципом правдоподобия. Кратко рассмотрим некоторые аргументы за и против принципа правдоподобия.
Первоначальный аргумент Бирнбаума
Согласно Giere (1977), Birnbaum отверг (с. 263). Первоначальный аргумент Бирнбаума в пользу принципа правдоподобия также подвергся критике со стороны других статистиков, включая Акайке, Эванса, и философов науки, включая Дебору Майо. Давид отмечает фундаментальные различия между определениями принципа условности у Майо и Бирнбаума, утверждая, что аргумент Бирнбаума нельзя столь легко отбросить. Gandenberger представил новое доказательство принципа правдоподобия, которое учитывает некоторые возражения к первоначальному доказательству.