Логистикалық таралым – үздіксіз ықтималдық таралым. Логистикалық регрессия, нейрондық желілерде қолданылады, қалыпты таралымнан ауыр құйрықтарымен ерекшеленеді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үздіксіз ықтималдық таралымы
Continuous probability distribution
Ықтималдық теориясы мен статистикада логистикалық таралым – үздіксіз ықтималдық таралымы. Оның жиынтық таралым функциясы логистикалық функция болып табылады, ол логистикалық регрессияда және тікелей тарату нейрондық желілерде қолданылады. Ол қалыпты таралымға ұқсас, бірақ ауыр құйрықтары бар (жоғары эксцесі). Логистикалық таралым – Тьюкидің лямбда таралымының ерекше жағдайы.
In probability theory and statistics, the logistic distribution is a continuous probability distribution. Its cumulative distribution function is the logistic function, which appears in logistic regression and feedforward neural networks. It resembles the normal distribution in shape but has heavier tails (higher kurtosis). The logistic distribution is a special case of the Tukey lambda distribution.
Құрастырылған үлестіру функциясы
Логистикалық үлестірім өзінің атын жиынтық үлестірім функциясынан алады, ол логистикалық функциялар отбасының бір мысалы. Логистикалық үлестірімнің жиынтық үлестірім функциясы гиперболалық тангенстің масштабталған түрі болып табылады. Бұл теңдеуде μ – орташа мән, ал s – стандартты қатеге пропорционалды масштаб параметрі.
The logistic distribution receives its name from its cumulative distribution function, which is an instance of the family of logistic functions. The cumulative distribution function of the logistic distribution is also a scaled version of the hyperbolic tangent. In this equation μ is the mean, and s is a scale parameter proportional to the standard deviation.
Квантильдік функция
Логистикалық үлестірудің кері жинақталған үлестіру функциясы (квантильдік функция) логит функциясының кеңейтілген түрі болып табылады. Оның туындысы квантильдік тығыздық функциясы деп аталады. Олар былай анықталады:
The inverse cumulative distribution function (quantile function) of the logistic distribution is a generalization of the logit function. Its derivative is called the quantile density function. They are defined as follows:
Баламалы параметрлеу
Логистикалық таралымның балама параметрленуі масштаб параметрін , стандартты қателік арқылы , мысалы, орнына қою арқылы шығарылуы мүмкін, мұнда . Жоғарыдағы функциялардың балама түрлері жеткілікті түрде түсінікті.
An alternative parameterization of the logistic distribution can be derived by expressing the scale parameter, , in terms of the standard deviation, , using the substitution , where The alternative forms of the above functions are reasonably straightforward.
Қолданбалар
Логистикалық үлестірім және оның жиынтық үлестіру функциясының S тәрізді пішіні (логистикалық функция) мен квантильдік функциясы (логит функция) көптеген әртүрлі салаларда кеңінен қолданылып келеді.
The logistic distribution—and the S shaped pattern of its cumulative distribution function (the logistic function) and quantile function (the logit function)—have been extensively used in many different areas.
Логистикалық регрессия
Ең көп таралған қолданбалардың бірі – логистикалық регрессия, ол категориялық тәуелді айнымалыларды (мысалы, «иә» немесе «жоқ» таңдауы немесе 3 немесе 4 мүмкіндіктен таңдау) модельдеу үшін қолданылады, стандартты сызықтық регрессия үздіксіз айнымалыларды (мысалы, табыс немесе халық саны) модельдеу үшін қолданылатыны сияқты. Нақтырақ айтқанда, логистикалық регрессия модельдерін логистикалық үлестірімге сәйкес келетін қателік айнымалылары бар жасырын айнымалы модельдер ретінде қарастыруға болады. Бұл тұжырым дискретті таңдау модельдерінің теориясында кеңінен қолданылады, онда логистикалық үлестіру логистикалық регрессияда, қалыпты үлестіру пробит регрессиясында ойнайтын рөлді атқарады. Дейін, логистикалық және қалыпты үлестірімдердің пішіндері өте ұқсас. Дегенмен, логистикалық үлестірімде ауыррақ құйрықтар болады, бұл оған негізделген талдаулардың қалыпты үлестірімді пайдаланумен салыстырғанда беріктігін көбінесе арттырады.
One of the most common applications is in logistic regression, which is used for modeling categorical dependent variables (e. g., yes no choices or a choice of 3 or 4 possibilities), much as standard linear regression is used for modeling continuous variables (e. g., income or population). Specifically, logistic regression models can be phrased as latent variable models with error variables following a logistic distribution. This phrasing is common in the theory of discrete choice models, where the logistic distribution plays the same role in logistic regression as the normal distribution does in probit regression. Indeed, the logistic and normal distributions have a quite similar shape. However, the logistic distribution has heavier tails, which often increases the robustness of analyses based on it compared with using the normal distribution.
Физика
Бұл үлестірілімнің PDF-і Ферми функциясының туындысымен бірдей функционалдық формаға ие. Жартылай өткізгіштер мен металдардағы электрон қасиеттері теориясында бұл туынды электрондық көлікке олардың үлесін қосудағы әртүрлі электрондық энергиялардың салыстырмалы салмағын анықтайды. Энергия деңгейлері, энергиясы таралудың "орташасына" (Ферми деңгейіне) жақын болса, электрондық өткізгіштік сияқты процестерде басым болады, температураның әсерінен кейбір бұлыңғырлық пайда болады. Дегенмен, Ферми-Дирак статистикасындағы тиісті ықтималдық үлестірімі шын мәнінде қарапайым Бернулли үлестірімі болып табылады, ал ықтималдық факторы Ферми функциясымен беріледі. Логистикалық үлестірілім – бұл телеграф процесімен сипатталған, шекті жылдамдықпен демптелген кездейсоқ қозғалыстың шекті үлестірілімі, онда тізбектелген жылдамдық өзгерістері арасындағы кездейсоқ уақыттар сызықтық өсуімен сипатталатын тәуелсіз экспоненциалдық үлестірілімдерге ие.
The PDF of this distribution has the same functional form as the derivative of the Fermi function. In the theory of electron properties in semiconductors and metals, this derivative sets the relative weight of the various electron energies in their contributions to electron transport. Those energy levels whose energies are closest to the distribution's "mean" (Fermi level) dominate processes such as electronic conduction, with some smearing induced by temperature. Note however that the pertinent probability distribution in Fermi–Dirac statistics is actually a simple Bernoulli distribution, with the probability factor given by the Fermi function. The logistic distribution arises as limit distribution of a finite velocity damped random motion described by a telegraph process in which the random times between consecutive velocity changes have independent exponential distributions with linearly increasing parameters.
Гидрология
Гидрологияда ұзақ мерзімді өзен су ағыны мен жауын-шашынның таралуы (мысалы, айлық және жылдық қосындылар, тиісінше 30 және 360 тәуліктік мәндердің жиынтығынан тұратын) орталық шектеу теоремасына сәйкес дерлік қалыпты таралымға ие деп есептеледі. Дегенмен, қалыпты таралымға сандық жуықтау қажет. Анализдік шешімі бар логистикалық таралым қалыпты таралымға ұқсас болғандықтан, оны қолдануға болады. Көк суретте логистикалық таралымды қазан айындағы жауын-шашын деректеріне реттеп қоюдың мысалы көрсетілген, бұл екітара таралымға негізделген 90% сенімділік белдеуін көрсетеді. Жауын-шашын деректері жиынтық жиілік талдауының бөлігі ретінде орналасулар арқылы көрсетілген.
In hydrology the distribution of long duration river discharge and rainfall (e. g., monthly and yearly totals, consisting of the sum of 30 respectively 360 daily values) is often thought to be almost normal according to the central limit theorem. The normal distribution, however, needs a numeric approximation. As the logistic distribution, which can be solved analytically, is similar to the normal distribution, it can be used instead. The blue picture illustrates an example of fitting the logistic distribution to ranked October rainfalls—that are almost normally distributed—and it shows the 90% confidence belt based on the binomial distribution. The rainfall data are represented by plotting positions as part of the cumulative frequency analysis.
Шахмат рейтингтері
АҚШ Шахмат федерациясы мен FIDE шахмат рейтингтерін есептеу формуласын қалыпты таралымнан логистикалық таралымға өзгертті; Elo рейтингтік жүйесі туралы мақаланы қараңыз (өзі қалыпты таралымға негізделген).
The United States Chess Federation and FIDE have switched its formula for calculating chess ratings from the normal distribution to the logistic distribution; see the article on Elo rating system (itself based on the normal distribution).